Какой радиус окружности, описывающей треугольник ABC, при стороне AC равной 12 и синусе угла

Sverkayuschiy_Dzhinn_2303

56

Хорошо, чтобы определить радиус окружности, описывающей треугольник ABC, нам понадобится использовать связь между сторонами треугольника и его радиусом.

Начнем с определения связи между радиусом окружности и сторонами треугольника ABC, поместив треугольник внутри окружности с радиусом \(R\). После этого посмотрим на свойства радиуса, проведенного из центра окружности до вершин треугольника.

Давайте рассмотрим вершину B. Радиус окружности, проведенный из центра в вершину B, является отрезком BL. Поскольку радиус перпендикулярен хорде, он делит ее пополам.

Посмотрим на треугольник ABC. Так как AC - сторона треугольника, а медиана, проведенная к основанию, делит сторону пополам, то AL является половиной стороны AC, то есть \(AL = \frac{AC}{2}\).

Самый интересный момент достигается при рассмотрении синуса нашего угла. Синус угла - это отношение противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае, противолежащая сторона - это сторона BC, а гипотенуза - это радиус R.

Обозначим синус угла через \(sin(\angle CAB) = sin(\alpha)\). Тогда сторона BC будет равна \(BC = sin(\alpha) \cdot R\).

Теперь мы можем связать отрезки AL и BC. Согласно нашей логике, отрезок BC равен AC \(\cdot\) синусу угла ABC, то есть \(BC = AC \cdot sin(\alpha)\).

Из наших предыдущих вычислений мы знаем, что BC также равномерно делится отрезком BL, то есть \(BC = 2 \cdot BL\).

Теперь у нас есть два равенства для BC, поставленные вместе:

\[2 \cdot BL = AC \cdot sin(\alpha)\]

\[AC \cdot sin(\alpha) = 2 \cdot BL\]

Теперь мы можем связать сторону AC с R:

\[AC = 2 \cdot AL\]

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

\[2 \cdot AL \cdot sin(\alpha) = 2 \cdot BL\]

\[AL \cdot sin(\alpha) = BL\]

Теперь мы видим, что отрезки AL и BL равны друг другу, значит, \(AL = BL\).

Используем это равенство для определения радиуса R:

\[AL = R\]

Подставляем в предыдущее уравнение:

\[R \cdot sin(\alpha) = R\]

\[sin(\alpha) = 1\]

Теперь нам известно, что синус угла равен 1. Чтобы найти значение угла, нам нужно использовать обратную функцию синуса. Обозначим угол через \(\angle CAB\):

\[\angle CAB = arcsin(1)\]

Мы знаем, что синус \(\frac{\pi}{2}\) равен 1, поэтому:

\[\angle CAB = \frac{\pi}{2}\]

Теперь, имея значение угла \(\angle CAB\), мы можем найти радиус окружности, используя следующий метод:

\[R = \frac{AC}{2 \cdot sin(\angle CAB)}\]

\[R = \frac{12}{2 \cdot sin(\frac{\pi}{2})}\]

Так как синус \(\frac{\pi}{2}\) равен 1, получаем:

\[R = \frac{12}{2 \cdot 1}\]

\[R = \frac{12}{2}\]

\[R = 6\]

Итак, радиус окружности, описывающий треугольник ABC, равен 6.