Какие значения коэффициента c обеспечивают наличие одной общей точки для прямой и окружности, заданных уравнениями

Timur

48

Для решения данной задачи, нам необходимо найти значения коэффициента c, при которых прямая x+y+c=0 имеет одну общую точку с окружностью x^2+y^2=98.

Первым шагом будем подставлять уравнение прямой в уравнение окружности, чтобы найти значения координат общей точки (x, y). Для этого заменим y в уравнении окружности на -(x+c) (так как у нас есть уравнение прямой x+y+c=0).

Теперь подставим это значение в уравнение окружности:

x^2 + (-x-c)^2 = 98

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

x^2 + x^2 + 2cx + c^2 = 98

2x^2 + 2cx + c^2 = 98

Далее приведем данное уравнение к каноническому виду квадратного уравнения:

2x^2 + 2cx + c^2 - 98 = 0

Теперь, чтобы у нас была одна общая точка, дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю.

Дискриминант формулы квадратного уравнения вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 2, b = 2c, c = c^2 - 98.

Подставим это в формулу дискриминанта и приравняем к нулю:

(2c)^2 - 4 * 2 * (c^2 - 98) = 0

4c^2 - 8c^2 + 784 = 0

-4c^2 + 784 = 0

4c^2 = 784

c^2 = 196

Теперь найдем значения c:

c = ±14

Таким образом, значения коэффициента c, которые обеспечивают наличие одной общей точки для прямой и окружности, заданных уравнениями x^2+y^2=98 и x+y+c=0 соответственно, равны -14 и 14. Ответ записываем через точку с запятой и без пробелов в возрастающем порядке: -14;14.