Какой радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC с осями симметрии AB и BC и AC=6? Какова площадь

Orel

9

Для решения данной задачи, давайте применим свойства равнобедренного треугольника и окружности, вписанной в него.

1. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, обозначим как r.
2. По свойству окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, высота, проведенная из вершины треугольника (то есть из точки A) перпендикулярна оси симметрии BC (то есть отрезку BC) и проходит через центр окружности.
3. Пусть точка M - середина основания треугольника BC (то есть точка, делящая отрезок BC пополам).
4. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что точки M и A совпадают с центром окружности.
5. Тогда высота треугольника AM попадает на ось симметрии и в точке M делит отрезок BC на две равные части.
6. Таким образом, получаем, что AM = MC = BM = r, где r - радиус вписанной окружности.
7. Зная, что треугольник ABC равнобедренный, можно выразить длину основания треугольника BC через его высоту AM: BC = 2 * AM = 2 * r.
8. Также из условия задачи известно, что AC = 6.

Теперь мы можем решить задачу.

Известно, что треугольник ABC - равнобедренный. Так как AC = 6, то основание BC также равно 6: BC = 6.

Так как основание BC равно 2 * AM, где AM = r, получаем уравнение:

6 = 2 * r.

Разделим обе части уравнения на 2:

3 = r.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 3.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, воспользуемся формулой площади треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника ABC = r * p.

где r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника ABC вычисляем по формуле:

p = (AB + BC + AC) / 2.

Заменяем значения в формуле:

p = (6 + 6 + 6) / 2 = 9.

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника ABC = 3 * 9 = 27.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 27.