Какой радиус основания цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна 72Пи и диагонали прямоугольника

Mishutka_1483

16

Чтобы найти радиус основания цилиндра, нам потребуется использовать информацию о площади его боковой поверхности и угле, образуемом диагональю прямоугольника в его развертке. Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдите длину боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна \(72\pi\). Формула площади боковой поверхности цилиндра: \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\), где \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра. Так как у нас нет информации о высоте, мы не можем решить задачу напрямую. Но мы можем продолжать решение, используя другую информацию.

Шаг 2: Используйте информацию об угле между диагональю и стороной прямоугольника.
Мы знаем, что угол между диагональю прямоугольника и одной из его сторон составляет 45 градусов. Давайте обозначим эту сторону за \(a\). Тогда мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника для нахождения значения \(a\). В прямоугольном треугольнике со сторонами \(a\), \(a\) и гипотенузой (диагональю) \(d\) угол \(45^\circ\) равномерно делит прямой угол на два прямых угла, поэтому равны следующие отношения: \(\frac{a}{d} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Шаг 3: Найдите длину диагонали прямоугольника.
Поскольку у нас нет информации о конкретных значениях сторон прямоугольника, мы не можем расчитать длину диагонали напрямую. Однако, ранее мы нашли отношение \(\frac{a}{d} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), которое относится к прямоугольнику из развертки цилиндра. Это позволяет нам придти к выводу, что соотношение между стороной прямоугольника и его диагональю будет постоянным вне зависимости от их конкретных значений.

Шаг 4: Примените полученное отношение к радиусу цилиндра.
Теперь, когда у нас есть отношение \(\frac{a}{d} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) и мы знаем, что \(r\) - радиус основания цилиндра, мы можем записать отношение \(\frac{r}{d}\).

Шаг 5: Воспользуйтесь формулой площади боковой поверхности.
Подставим найденное отношение в формулу площади боковой поверхности цилиндра \(S_{\text{бок}} = 2\pi rh\) и получим выражение: \(72\pi = 2\pi r \cdot \frac{r}{d}\).

Шаг 6: Решите полученное уравнение.
Для решения уравнения, давайте сократим \(\pi\) с обеих сторон и заменим значение \(\frac{r}{d}\) из шага 4. Найденное значение \(\frac{r}{d} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) подставим в уравнение и решим его.

\[72 = 2 r \cdot \frac{r}{d} = 2r \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = r \sqrt{2}\]
\[72 = r \sqrt{2}\]

Теперь разделим обе стороны уравнения на \(\sqrt{2}\):

\[\frac{72}{\sqrt{2}} = r\]

Последовательное деление даст нам почти округленный ответ: \(r \approx 50.91\).

Таким образом, радиус основания цилиндра составляет примерно \(50.91\).