Каковы длины бокового ребра и одной из сторон основания прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ образует

Vladimirovna

47

Для решения этой задачи, давайте разложим данную ситуацию на более простые и понятные составляющие.

Представим прямоугольный параллелепипед, у которого длины его боковых ребер и одной из сторон основания нам неизвестны и обозначим их как \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно.

Также нужно обратить внимание на то, что диагональ параллелепипеда образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Это означает, что диагональ является гипотенузой треугольника, образованного диагональю и боковым ребром параллелепипеда, так как угол между ними равен 90 градусов.

Для начала, найдем длину диагонали параллелепипеда с помощью теоремы Пифагора. Таким образом, имеем:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Поскольку угол между диагональю и одним из боковых ребер равен 60 градусов, мы можем использовать косинус этого угла для определения соотношения между сторонами основания и боковым ребром. Формула косинуса для треугольника дает нам:

\[
\cos(60^\circ) = \frac{a}{c} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{a}{c} \Rightarrow a = \frac{c}{2}
\]

Теперь мы можем заменить \(a\) в формуле для длины диагонали и выразить \(b\) через \(c\):

\[
c^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + b^2 \Rightarrow c^2 = \frac{c^2}{4} + b^2 \Rightarrow b^2 = \frac{3c^2}{4}
\]

Теперь, когда мы нашли зависимости длин боковых ребер от длины диагонали, можем перейти к нахождению площадей.

Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его боковых граней. В данном случае у нас есть 4 боковые грани, поэтому площадь одной боковой грани равна \(ab\), а площадь боковой поверхности равна:

\[
S_{\text{бок}} = 4ab = 4 \cdot \frac{c}{2} \cdot b = 2cb
\]

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней. В данном случае у нас есть 6 граней, поэтому площадь одной грани равна \(ab\), а площадь полной поверхности равна:

\[
S_{\text{полн}} = 6ab = 6 \cdot \frac{c}{2} \cdot b = 3cb
\]

Таким образом, ответ на задачу:

Длины бокового ребра и одной из сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны \(a = \frac{c}{2}\) и \(b = \sqrt{\frac{3c^2}{4}}\). Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна \(S_{\text{бок}} = 2cb\), а площадь полной поверхности равна \(S_{\text{полн}} = 3cb\).