Докажите, что если из 10 данных точек на плоскости можно исключить одну так, чтобы оставшиеся три точки лежали на одной
Докажите, что если из 10 данных точек на плоскости можно исключить одну так, чтобы оставшиеся три точки лежали на одной прямой, то девять из этих точек также лежат на одной прямой. Предоставьте объяснение данного факта.
Zagadochnyy_Sokrovische_3966 3
Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим две ситуации.Пусть у нас есть 10 точек на плоскости, и мы можем исключить одну точку таким образом, чтобы оставшиеся три точки лежали на одной прямой. Давайте предположим, что это возможно.
Сначала выберем какую-то одну точку, которую мы исключаем изначально. Обозначим её как A. После удаления точки A у нас остаются ещё 9 точек. Предположим, что оставшиеся три точки, которые мы обозначим как B, C и D (возможно, перетасованные в каком-то порядке), лежат на одной прямой.
Теперь мы можем перейти к следующему этапу. Мы можем вернуть исключенную точку A назад и удалить другую точку на этом этапе для создания новой тройки точек на прямой. Обозначим новую тройку точек как E, F и G.
Таким образом, у нас есть две тройки точек, BCD и EFG, которые лежат на одной прямой. Давайте рассмотрим их отдельно.
Возможны два случая: либо точки B, C и D совпадают с точками E, F и G, либо они различаются.
1. Если точки B, C и D совпадают с точками E, F и G, то все 9 точек лежат на одной прямой. В этом случае мы уже доказали данное утверждение.
2. Рассмотрим случай, когда точки B, C и D отличаются от точек E, F и G. Обозначим точку, которую мы исключим после этого шага, как H.
Теперь у нас остаются 8 точек, и мы можем повторить процесс, описанный ранее. Мы выбираем одну из оставшихся точек и исключаем её. Затем строим новую тройку точек на прямой и проверяем, совпадает ли она с предыдущей тройкой. Если да, то все 8 точек лежат на одной прямой.
Мы продолжаем этот процесс, пока у нас не останется всего одна точка. Изначально у нас было 10 точек, и мы исключали по одной точке. Значит, мы повторили этот процесс 9 раз.
Таким образом, если изначально можно исключить одну точку так, чтобы оставшиеся три лежали на одной прямой, то девять оставшихся точек также лежат на одной прямой.
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, почему девять точек также лежат на одной прямой