Какой радиус основания прямоугольного цилиндра, если его диагональ равна 125 см, а высота в два раза превышает диаметр

Serdce_Ognya

13

Для решения этой задачи мы воспользуемся геометрическими свойствами прямоугольного цилиндра.

Дано, что диагональ цилиндра равна 125 см. Обозначим эту величину как \(d\). Также известно, что высота цилиндра в два раза превышает диаметр основания. Обозначим диаметр как \(2r\), где \(r\) - это радиус основания.

Для начала воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения высоты цилиндра. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, радиусом и высотой цилиндра, прямой угол находится между диагональю и радиусом. Таким образом, у нас есть следующее соотношение:

\[
d^2 = r^2 + (2r)^2
\]

Теперь разберемся с высотой цилиндра. У нас сказано, что высота в два раза превышает диаметр основания, то есть:

\[
h = 2 \cdot (2r) = 4r
\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(r\) и \(d\)). Давайте решим эту систему уравнений.

Возведем уравнение \(d^2 = r^2 + (2r)^2\) в квадрат и упорядочим его:

\[
d^2 = r^2 + 4r^2 = 5r^2
\]

Отсюда находим \(r^2 = \frac{d^2}{5}\).

Теперь подставим значение \(r^2\) в уравнение \(h = 4r\):

\[
h = 4 \cdot \sqrt{\frac{d^2}{5}}
\]

Таким образом, мы выразили высоту цилиндра через данную величину \(d\).

Теперь, чтобы найти радиус основания (\(r\)), мы должны решить уравнение \(h = 4 \cdot \sqrt{\frac{d^2}{5}}\) относительно \(r\).

Все, что осталось сделать, это подставить известное значение диагонали \(d = 125\) в это уравнение и вычислить \(r\).