Какой размер имеет сторона большего треугольника, если периметр одного из подобных треугольников составляет 15/17

Анатолий_2935

50

Для решения этой задачи, давайте обозначим размер стороны большего треугольника как \(x\).

Периметр меньшего треугольника будем обозначать как \(P_1\), а периметр большего треугольника - как \(P_2\).

У нас есть следующая информация: периметр одного треугольника составляет \(\frac{15}{17}\) от периметра другого треугольника.

Математически это можно записать как:

\(\frac{P_1}{P_2} = \frac{15}{17}\)

Заметим, что периметр треугольника равен сумме всех его сторон. Таким образом:

\(\frac{a_1 + b_1 + c_1}{a_2 + b_2 + c_2} = \frac{15}{17}\)

где \(a_1, b_1, c_1\) - стороны меньшего треугольника,
а \(a_2, b_2, c_2\) - стороны большего треугольника.

Мы знаем, что одна из сторон в одном треугольнике отличается от подобной стороны в другом треугольнике. Пусть это будет сторона \(c\).

Тогда \(c_1 = kc_2\), где \(k\) - коэффициент подобия между треугольниками.

Подставим это в наше уравнение:

\(\frac{a_1 + b_1 + kc_2}{a_2 + b_2 + c_2} = \frac{15}{17}\)

Теперь воспользуемся тем фактом, что треугольники подобны, а значит отношение длин соответствующих сторон должно быть одинаковым. Значит, можно записать:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)

Тогда можно записать:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{kc_2}{c_2}\)

Перепишем это уравнение, чтобы избавиться от дробей:

\(a_1 \cdot b_2 = a_2 \cdot b_1\)

\(kc_2 \cdot b_2 = c_2 \cdot b_1\)

Отсюда следует, что \(kc_2 = b_1\).

Подставим это обратно в уравнение периметров:

\(\frac{a_1 + b_1 + kc_2}{a_2 + b_2 + c_2} = \frac{15}{17}\)

\(\frac{a_1 + kc_2 + kc_2}{a_2 + b_2 + c_2} = \frac{15}{17}\)

\(\frac{a_1 + 2kc_2}{a_2 + b_2 + c_2} = \frac{15}{17}\)

Подставим значения сторон вместо их обозначений:

\(\frac{15}{17} = \frac{a_1 + 2kc_2}{a_2 + b_2 + c_2}\)

Теперь у нас есть два уравнения:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{kc_2}{c_2}\)

\(\frac{15}{17} = \frac{a_1 + 2kc_2}{a_2 + b_2 + c_2}\)

Уравнение 1 позволяет нам выразить \(k\) через отношение сторон:

\(k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)

Теперь мы можем подставить это значение \(k\) в уравнение 2:

\(\frac{15}{17} = \frac{a_1 + 2kc_2}{a_2 + b_2 + c_2}\)

\(\frac{15}{17} = \frac{a_1 + 2\left(\frac{a_1}{a_2}c_2\right)}{a_2 + b_2 + c_2}\)

Теперь у нас есть выражение для периметров треугольников в зависимости от сторон:

\(P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = a_1 + b_1 + kc_2\)

\(P_2 = a_2 + b_2 + c_2\)

Подставим значения и упростим:

\(P_1 = a_1 + b_1 + kc_2 = a_1 + b_1 + \frac{a_1}{a_2}c_2 = \frac{a_1a_2 + b_1a_2 + a_1c_2}{a_2}\)

\(P_2 = a_2 + b_2 + c_2\)

Теперь мы можем подставить эти выражения в уравнение 2:

\(\frac{15}{17} = \frac{\frac{a_1a_2 + b_1a_2 + a_1c_2}{a_2} + 2\left(\frac{a_1}{a_2}c_2\right)}{a_2 + b_2 + c_2}\)

\(\frac{15}{17} = \frac{a_1a_2 + b_1a_2 + a_1c_2 + 2a_1c_2}{a_2(a_2 + b_2 + c_2)}\)

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной \(c_2\). Давайте продолжим упрощение:

\(\frac{15}{17} = \frac{a_1a_2 + b_1a_2 + 3a_1c_2}{a_2(a_2 + b_2 + c_2)}\)

Перемножим обе стороны уравнения на \(a_2(a_2 + b_2 + c_2)\):

\(15(a_2 + b_2 + c_2) = (a_1a_2 + b_1a_2 + 3a_1c_2)\)

\(15a_2 + 15b_2 + 15c_2 = a_1a_2 + b_1a_2 + 3a_1c_2\)

Теперь сгруппируем похожие термины:

\((a_1a_2 - 15a_2) + (b_1a_2 - 15b_2) + (3a_1c_2 - 15c_2) = 0\)

Мы хотим найти сторону \(c_2\) треугольника, поэтому фокусируемся на выражении \((3a_1c_2 - 15c_2)\):

\(3a_1c_2 - 15c_2 = 0\)

Факторизуем это выражение:

\(c_2(3a_1 - 15) = 0\)

Из этого уравнения видно, что \(c_2 = 0\) или \(3a_1 - 15 = 0\).

Очевидно, что сторона треугольника не может быть равной нулю, поэтому решаем уравнение:

\(3a_1 - 15 = 0\)

Добавляем 15 к обеим сторонам:

\(3a_1 = 15\)

Делим на 3:

\(a_1 = 5\)

То есть, сторона меньшего треугольника равна 5.

Теперь, чтобы найти сторону \(c_2\) большего треугольника, мы можем подставить значение \(a_1\) в уравнение \(c_2(3a_1 - 15) = 0\):

\(c_2(3 \cdot 5 - 15) = 0\)

\(c_2(15 - 15) = 0\)

\(c_2 \cdot 0 = 0\)

Здесь мы видим, что \(c_2\) может принимать любое значение, так как произведение на 0 дает 0.

Таким образом, сторона \(c_2\) большего треугольника может быть любым числом.

В итоге, ответ на задачу: сторона большего треугольника не имеет фиксированного размера, она может быть любой. Только сторона меньшего треугольника равна 5.