Яка є висота прямого паралелепіпеда, якщо його основою є паралелограм з тупим кутом 150° і площею 15 см², а площі

Весна

60

Для решения этой задачи нам потребуется знание формулы площади параллелограмма и объема прямого параллелепипеда. Пошагово рассмотрим решение.

Шаг 1: Найдем длины сторон параллелограмма.
Площадь параллелограмма выражается формулой: \(S = a \cdot h\), где \(a\) - длина одной из сторон параллелограмма, \(h\) - соответствующая высота. Из условия задачи известно, что площадь параллелограмма равна 15 см². Предположим, что длина стороны параллелограмма равна \(x\), тогда:
\[15 = x \cdot h\]

Шаг 2: Найдем высоту параллелограмма.
Известно, что параллелограмм имеет тупой угол в 150°. В параллелограмме, у которого один из углов тупой, высота перпендикулярна основанию и разделяет его на две равные части. Таким образом, параллелограмм можно разделить на два равных треугольника. У тупого треугольника высота лежит вне треугольника, поэтому высота параллелограмма равна высоте ромба. Высота ромба с тупым углом выражается формулой: \(h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2}\), где \(a\) - длина одной из сторон ромба (тут равна \(x\)), \(c\) - длина диагонали ромба. Для нахождения диагонали ромба обратимся к свойствам параллелограмма со знанием длин его сторон. Если длины сторон параллелограмма а и b, а диагонали — р и 𝑞, то \(p = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos\alpha}\), где \(\alpha\) - тупой угол в параллелограмме. Мы знаем, что длины сторон параллелограмма равны \(x\), поэтому:
\[c = \sqrt{x^2 + x^2 + 2x \cdot x \cos 150°} = \sqrt{2x^2 - 2x^2 \cos 150°}\]
Эту формулу можно упростить, заметив, что \(\cos 150° = -\cos 30°\). Подставим и получим:
\[c = \sqrt{2x^2 - 2x^2 \cdot (-\cos 30°)} = \sqrt{2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2x^2 - x^2 \sqrt{3}} = \sqrt{x^2(2 - \sqrt{3})}\]
Подставляем полученное значение в формулу для высоты ромба:
\[h = \sqrt{x^2 - \left(\frac{\sqrt{x^2(2 - \sqrt{3})}}{2}\right)^2}\]
Упростим дальше:
\[h = \sqrt{x^2 - \frac{x^2(2 - \sqrt{3})}{4}} = \sqrt{x^2 - \frac{x^2(2 - \sqrt{3})}{4}} = \sqrt{\frac{4x^2 - x^2(2 - \sqrt{3})}{4}} = \sqrt{\frac{4x^2 - 2x^2 + x^2\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{2x^2 + x^2\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{x^2(2 + \sqrt{3})}{4}} = \frac{x \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}\]

Шаг 3: Найдем объем параллелепипеда.
Объем прямого параллелепипеда выражается формулой: \(V = S \cdot h_1\), где \(S\) - площадь параллелограмма, \(h_1\) - высота параллелепипеда. Из условия задачи известно, что площади боковых граней параллелепипеда равны 20 см² и 24 см². Обозначим длины ребер параллелепипеда как \(a\), \(b\) и \(c\). Тогда площади боковых граней могут быть выражены следующими формулами: \(20 = a \cdot h_1\), \(24 = b \cdot h_1\). Для получения высоты параллелепипеда воспользуемся формулой:
\[h_1 = \frac{20}{a} = \frac{24}{b}\]
Так как у нас есть два выражения для \(h_1\), можно приравнять их и получить уравнение:
\[\frac{20}{a} = \frac{24}{b}\]
Решая это уравнение относительно \(b\), получим:
\[b = \frac{24a}{20} = \frac{6a}{5}\]

Шаг 4: Найдем высоту параллелепипеда исходя из найденных длин ребер.
Для того чтобы найти высоту параллелепипеда, воспользуемся формулой объема прямого параллелепипеда, выполнив замену переменных и подставив найденные значения:
\[V = S \cdot h_1 = a \cdot b \cdot h_1 = a \cdot \frac{6a}{5} \cdot h_1 = \frac{6a^2}{5} \cdot h_1 = 20 \cdot \frac{x \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} = \frac{3 \cdot x^2 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}}{5}\]
Окончательная формула для высоты параллелепипеда:
\[x = \sqrt{\frac{5V}{3 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}\]

Таким образом, чтобы найти высоту прямого параллелепипеда, нужно взять его объем \(V\), подставить его в формулу \(x = \sqrt{\frac{5V}{3 \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}\) и вычислить значение переменной \(x\).