Какой результат будет, если нам нужно найти косинус от 3α и известно, что синус 3α равен 0,7?

Полярная

57

Для решения этой задачи давайте воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

\[ \cos{2\theta} = 1 - 2\sin^2{\theta} \]

Так как нам дано значение синуса для угла 3α, давайте найдем сначала синус для угла 2·3α:

\[ \sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta} \]

Сначала найдем значение синуса для угла 2·3α, используя данное нам значение \(\sin{3\alpha} = 0.7\):

\[ \sin{6\alpha} = 2\sin{3\alpha}\cos{3\alpha} = 2 \cdot 0.7 \cdot \cos{3\alpha} = 1.4\cos{3\alpha} \]

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

\[ \sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta} = 2\cdot 0.7\cdot \cos{3\alpha} = 1.4\cos{3\alpha} \]

Мы знаем, что \(\sin{2\theta} = \sqrt{1 - \cos^2{2\theta}}\), поэтому:

\[ 1.4\cos{3\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{2\cdot 3\alpha}} \]
\[ 1.96\cos^2{3\alpha} = 1 - \cos^2{6\alpha} \]
\[ 1.96\cos^2{3\alpha} = 1 - (1 - 1.4\cos{3\alpha})^2 \]
\[ 1.96\cos^2{3\alpha} = 1 - (1 - 1.96\cos^2{3\alpha} + 1.96\cos{3\alpha}) \]
\[ 1.96\cos^2{3\alpha} = 1.96\cos^2{3\alpha} - 1.96\cos{3\alpha} \]
\[ 0 = -1.96\cos{3\alpha} \]

Отсюда получаем \(\cos{3\alpha} = 0\).

Итак, результат: \(\cos{3\alpha} = 0\).