Как найти производную функции y=tg ln x? Готовьтесь заранее

Busya

49

вам с вашей задачей. Давайте найдем производную функции \( y = \tan(\ln{x}) \) по шагам:

Шаг 1: Запишем функцию и используем свойство производной:

\[ y = \tan(\ln{x}) \]

Шаг 2: Вспомним, что производная функции \( \tan(u) \) равна \( \sec^2(u) \), а производная функции \( \ln(x) \) равна \( \frac{1}{x} \).

Шаг 3: Применим правило производной сложной функции (chain rule), которое гласит: если \( y = f(g(x)) \), то производная функции \( y \) будет равна произведению производной внешней функции \( f"(g(x)) \) и производной внутренней функции \( g"(x) \).

В нашем случае, внешняя функция - это \(\tan(u)\), а внутренняя функция - это \(\ln(x)\).

Производная внешней функции \( \tan(u) \) равна \( \sec^2(u) \), а производная внутренней функции \( \ln(x) \) равна \( \frac{1}{x} \).

Шаг 4: Подставим значения производных в формулу chain rule:

\[ y" = \sec^2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} \]

Это и является производной функции \( y = \tan(\ln{x}) \).

Таким образом, производная функции \( y = \tan(\ln{x}) \) равна \( \sec^2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} \).

Надеюсь, это решение понятно для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.