Какой символ обозначает значение выражения sin135° *cos210° *tg405° * ctg330° * cos560°?

Зайка

42

Чтобы найти значение данного выражения, нам понадобятся знания о функциях синуса, косинуса, тангенса и котангенса для различных углов. Давайте рассмотрим каждый шаг по порядку.

Для начала, вычислим значение синуса 135°. Формула для синуса угла a в градусах выглядит следующим образом:

\[\sin(a) = \sin(a \mod 360°)\]

Поскольку 135° < 180°, мы можем представить угол 135° в виде разности 180° и 45°:

\[\sin(135°) = \sin(180° - 45°)\]

Так как синус является нечетной функцией, справедлива следующая формула:

\[\sin(180° - a) = -\sin(a)\]

Подставим значения:

\[\sin(135°) = -\sin(45°)\]

Далее, вычислим значение косинуса 210°. Аналогично предыдущему шагу, представим 210° в виде суммы 180° и 30°, и используем формулу для косинуса:

\[\cos(210°) = \cos(180° + 30°)\]

Косинус является четной функцией, поэтому:

\[\cos(180° + a) = \cos(a)\]

Подставим значения:

\[\cos(210°) = \cos(30°)\]

Затем, рассчитаем значение тангенса 405°. Для этого мы снова представим угол 405° в виде разности других углов:

\[\tan(405°) = \tan((360° + 45°))\]

Тангенс является нечетной функцией, поэтому:

\[\tan(360° + a) = -\tan(a)\]

Подставляем значения:

\[\tan(405°) = -\tan(45°)\]

Далее, найдем значение котангенса 330°. По аналогии с предыдущими шагами, представим 330° в виде 360° и 30°:

\[\cot(330°) = \cot((360° - 30°))\]

Котангенс является четной функцией, поэтому:

\[\cot(360° - a) = \cot(a)\]

Подставляем значения:

\[\cot(330°) = \cot(30°)\]

Наконец, запишем значение косинуса 560°:

\[\cos(560°)\]

Теперь, объединим все значения функций:

\[\sin(135°) \cdot \cos(210°) \cdot \tan(405°) \cdot \cot(330°) \cdot \cos(560°)\]

Подставим значения, которые мы получили ранее:

\[-\sin(45°) \cdot \cos(30°) \cdot (-\tan(45°)) \cdot \cot(30°) \cdot \cos(560°)\]

Далее, используем свойства функций с тригонометрическими отношениями, чтобы упростить выражение:

\[-\sin(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[-\tan(45°) = -1\]
\[\cot(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}\]
\[\cos(560°) = \cos(560° \mod 360°)\]

Теперь, рассчитаем значение получившегося выражения:

\[-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos(560°)\]

Упростим дроби:

\[-\frac{\sqrt{6}}{4} \cdot (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos(560°)\]

И, наконец, рассчитаем значение косинуса 560°, который можно представить как 360° + 200°:

\[\cos(360° + 200°) = \cos(200°)\]

Теперь, осталось только подставить значения:

\[-\frac{\sqrt{6}}{4} \cdot (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos(200°)\]

Так как ответ требуется в наиболее подробной форме, оставим его таким, не меняя знаки и корни:

\[\frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos(200°)\]

Округлим получившееся значение, чтобы упростить ответ - значениям, близким к десятичным дробям:

\[\approx 0,1803 \cdot 0,5774 \cdot \cos(200°)\]

\[ \approx 0,1039 \cdot \cos(200°)\]

Таким образом, символ, обозначающий значение данного выражения, будет:

\[0,1039 \cdot \cos(200°)\]