Нужно решить задачу, но времени мало. Заметили, что сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна 14, а радиус

Yaponec

50

Для решения данной задачи нам понадобятся два факта о свойствах прямоугольных треугольников и окружностей, а также некоторые математические формулы:

1. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть, если \(a\) и \(b\) - длины катетов, а \(c\) - длина гипотенузы, то имеем следующее уравнение:
\[a^2 + b^2 = c^2\]

2. Окружность, вписанная в треугольник, касается каждой из его сторон в одной точке. Это означает, что расстояния от точек касания до вершин треугольника равны радиусу вписанной окружности.

Теперь давайте воспользуемся этими свойствами для решения задачи:

Пусть \(a\) и \(b\) - длины катетов прямоугольного треугольника, \(r\) - радиус вписанного круга.

Сумма длин катетов равна 14, поэтому у нас есть уравнение:
\[a + b = 14\] (1)

Радиус описанной окружности равен 5. Рассмотрим правильный треугольник, вписанный в данную окружность. Расстояние от середины стороны (катета) до центра описанной окружности равно половине радиуса. Поэтому у нас также есть уравнение:
\[\frac{a}{2} + \frac{b}{2} = r\] (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Решим её:

Можно использовать метод подстановки либо сложить оба уравнения.
Воспользуемся методом сложения. Умножим уравнение (2) на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[2 \cdot \frac{a}{2} + 2 \cdot \frac{b}{2} = 2r\]
\[a + b = 2r\] (3)

Сложим уравнения (1) и (3):
\[(a + b) + (a + b) = 14 + 2r\]
\[2(a + b) = 14 + 2r\]
\[2 \cdot 14 = 14 + 2r\]
\[28 = 14 + 2r\]
\[2r = 28 - 14\]
\[2r = 14\]
\[r = \frac{14}{2}\]
\[r = 7\]

Таким образом, радиус вписанного круга равен 7.
Для нахождения площади круга воспользуемся формулой: \(S = \pi r^2\).
Подставим значение радиуса \(r = 7\) в эту формулу:
\[S = \pi \cdot 7^2\]
\[S = 49\pi\]

Ответ: площадь вписанного круга равна \(49\pi\) (или приближенно 153.94, если требуется численное значение).