Какой тангенс угла наклона плоскости α к плоскостям оснований цилиндра? Радиус основания цилиндра равен 10 см, высота

Муся_8681

54

Для начала рассмотрим схематическое изображение данной задачи:

/|\ α
/ | \
h / | \
/ | \
/ | \
/ | \
/______|______\
\ | /
\ | /
\ | /
\ | /
R \ | /
\ | /
\|/

Первым шагом необходимо определить угол α между плоскостью α и горизонтом. Поскольку плоскость α пересекает основания цилиндра по хордам, мы можем построить треугольник ABC, где AB и AC - хорды, а BC - высота цилиндра. По условию AB = 16 см и AC = 12 см.

Для определения угла α воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\alpha)\]

Подставим известные значения и найдем cos(α):

\[12^2 = 16^2 + 30^2 - 2 \cdot 16 \cdot 30 \cdot \cos(\alpha)\]
\[144 = 256 + 900 - 960 \cdot \cos(\alpha)\]
\[960 \cdot \cos(\alpha) = 1156 - 900\]
\[960 \cdot \cos(\alpha) = 256\]
\[\cos(\alpha) = \frac{256}{960}\]
\[\cos(\alpha) = \frac{4}{15}\]

Теперь, чтобы найти тангенс угла наклона плоскости α к плоскостям оснований цилиндра, мы воспользуемся определением тангенса:

\[\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\]

Так как sin(α) неизвестно, мы можем воспользоваться треугольником ABC, чтобы определить sin(α). Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

\[BC^2 = AB^2 - AC^2\]
\[30^2 = 16^2 - 12^2\]
\[BC^2 = 256 - 144\]
\[BC^2 = 112\]
\[BC = \sqrt{112}\]

Теперь мы можем определить sin(α) как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\[\sin(\alpha) = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{112}}{16}\]

Таким образом, тангенс угла наклона плоскости α к плоскостям оснований цилиндра вычисляется как:

\[\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{\sqrt{112}}{16}}{\frac{4}{15}} = \frac{\sqrt{112} \cdot 15}{16 \cdot 4}\]
\[\tan(\alpha) = \frac{15 \sqrt{7}}{32}\]

Таким образом, тангенс угла наклона плоскости α к плоскостям оснований цилиндра равен \( \frac{15 \sqrt{7}}{32} \).

Надеюсь, ответ был полезным и понятным. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.