Какой тип треугольника задан точками A(-5,2,0), B(-4,3,0) и C(-5,2,-2)?

Егор_7684

4

Чтобы определить тип треугольника, заданного точками A(-5,2,0), B(-4,3,0) и C(-5,2,-2), нам нужно рассмотреть его стороны и углы.

1. Расстояния между точками:
Мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

Вычислим длины сторон треугольника AB, BC и CA:

AB:
\[ d_{AB} = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (3 - 2)^2 + (0 - 0)^2} \]
\[ d_{AB} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} \]
\[ d_{AB} = \sqrt{2} \]

BC:
\[ d_{BC} = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (3 - 2)^2 + (0 - (-2))^2} \]
\[ d_{BC} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} \]
\[ d_{BC} = \sqrt{6} \]

CA:
\[ d_{CA} = \sqrt{(-5 - (-5))^2 + (2 - 3)^2 + (0 - (-2))^2} \]
\[ d_{CA} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} \]
\[ d_{CA} = \sqrt{5} \]

2. Теперь рассмотрим углы:
Мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами:
\[ \cos\theta = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}|} \]

Вычислим косинусы углов A, B и C:

Угол A:
Вектор AB: \[ \mathbf{AB} = \langle -4 - (-5), 3 - 2, 0 - 0 \rangle = \langle 1, 1, 0 \rangle \]
Вектор AC: \[ \mathbf{AC} = \langle -5 - (-5), 2 - 2, -2 - 0 \rangle = \langle 0, 0, -2 \rangle \]

\[ \cos\angle A = \frac{\langle 1, 1, 0 \rangle \cdot \langle 0, 0, -2 \rangle}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} \]
\[ \cos\angle A = \frac{0 + 0 + 0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} \]
\[ \cos\angle A = 0 \]

Угол B:
Вектор BA: \[ \mathbf{BA} = \langle -5 - (-4), 2 - 3, 0 - 0 \rangle = \langle -1, -1, 0 \rangle \]
Вектор BC: \[ \mathbf{BC} = \langle -4 - (-4), 3 - 2, 0 - (-2) \rangle = \langle 0, 1, 2 \rangle \]

\[ \cos\angle B = \frac{\langle -1, -1, 0 \rangle \cdot \langle 0, 1, 2 \rangle}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} \]
\[ \cos\angle B = \frac{0 + (-1) + 0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} \]
\[ \cos\angle B = -\frac{1}{\sqrt{12}} \]

Угол C:
Вектор CA: \[ \mathbf{CA} = \langle -5 - (-5), 2 - 2, -2 - 0 \rangle = \langle 0, 0, -2 \rangle \]
Вектор CB: \[ \mathbf{CB} = \langle -4 - (-5), 3 - 2, 0 - 0 \rangle = \langle 1, 1, 0 \rangle \]

\[ \cos\angle C = \frac{\langle 0, 0, -2 \rangle \cdot \langle 1, 1, 0 \rangle}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} \]
\[ \cos\angle C = \frac{0 + 0 + 0}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} \]
\[ \cos\angle C = 0 \]

3. Определение типа треугольника:
Теперь, когда у нас есть стороны и углы треугольника, мы можем определить его тип.

- Если все стороны равны и все углы равны \(60^\circ\), то треугольник равносторонний.
- Если две стороны равны и два соответствующих угла равны, то треугольник равнобедренный.
- Если все три угла меньше \(90^\circ\), то треугольник остроугольный.
- Если один из углов равен \(90^\circ\), то треугольник прямоугольный.
- Если один из углов больше \(90^\circ\), то треугольник тупоугольный.

В нашем случае:
- Стороны треугольника имеют разные длины, поэтому треугольник не является равносторонним.
- Углы A и C равны \(0^\circ\), а угол B равен \(-\frac{1}{\sqrt{12}}\), что отличается от угла \(60^\circ\), поэтому треугольник не является равнобедренным.
- Все углы меньше \(90^\circ\), поэтому треугольник не является тупоугольным.
- Угол B отличается от \(90^\circ\), поэтому треугольник не является прямоугольным.

Итак, треугольник, заданный точками A(-5,2,0), B(-4,3,0) и C(-5,2,-2), является остроугольным треугольником.