Какой угол ∠BDA в четырёхугольнике ABCD, который вписан в окружность, при условии, что AB=AC и ∠BAC=44∘?

Igorevna

61

Чтобы найти угол \(\angle BDA\) в четырёхугольнике ABCD, который вписан в окружность, нам понадобится использовать некоторые свойства вписанных углов и центральных углов.

Дано, что \(AB = AC\) и \(\angle BAC = 44^\circ\).

С вписанными углами в окружности связано несколько свойств. Одно из них гласит: если два вписанных угла имеют равные дуги над окружностью, то эти два угла равны между собой.

Мы знаем, что \(AB = AC\), поэтому дуги \(BC\) и \(CB\) над окружностью равны.

Также существует другое свойство вписанных углов: значение центрального угла, соответствующего вписанному углу, в два раза больше значения вписанного угла.
То есть \(\angle BDA = \frac{1}{2} \cdot \text{arc}(BC)\).

Так как дуги \(BC\) и \(CB\) равны, то \(\text{arc}(BC) = \text{arc}(CB)\).

Теперь посмотрим на центральный угол \(\angle BOC\), где \(O\) - центр окружности. Заметим, что это прямой угол, то есть значение этого угла равно \(180^\circ\).

Угол \(\angle BOC\) также соответствует сумме вписанных углов \(\angle BAC\), \(\angle BDA\) и их дополнительных углов.

\(\angle BOC = 180^\circ = \angle BAC + \angle BDA + \text{дополнительные углы}\).

Далее, заметим, что углы \(\angle BAC\) и \(\angle BDA\) являются смежными и дополнительными.

Сумма смежных и дополнительных углов равна \(180^\circ\). То есть \(\angle BAC + \angle BDA = 180^\circ\).

Исключив \(\angle BAC\) из уравнения, получаем: \(\angle BDA = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ\).

Итак, угол \(\angle BDA\) в четырёхугольнике ABCD, который вписан в окружность, равен \(136^\circ\).