Решить неравенство: Logarithm base 1/3 of (18-6x) is less than or equal to logarithm base 1/3 of (x^2-8x+15) minus

Сквозь_Огонь_И_Воду_2094

12

Хорошо, давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

Итак, дано неравенство:

\(\log_{\frac{1}{3}}(18-6x) \leq \log_{\frac{1}{3}}(x^2-8x+15) - \log_{\frac{1}{3}}(x+2)\)

Для начала, обратимся к свойствам логарифмов. Если у нас есть логарифмы с одинаковыми основаниями, то мы можем объединить их с помощью следующего свойства:

\(\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a\left(\frac{b}{c}\right)\)

Применим это свойство к нашей задаче:

\(\log_{\frac{1}{3}}(18-6x) \leq \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x^2-8x+15}{x+2}\right)\)

Теперь посмотрим на нашу правую часть неравенства. Мы можем упростить выражение под логарифмом путем факторизации числителя:

\(x^2-8x+15 = (x-5)(x-3)\)

Таким образом, неравенство принимает вид:

\(\log_{\frac{1}{3}}(18-6x) \leq \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{(x-5)(x-3)}{x+2}\right)\)

Теперь обратимся к свойству логарифмов, которое утверждает, что если логарифм имеет отрицательное основание, то знак неравенства меняется:

\(\log_a(b) \leq \log_a(c)\) при \(0 < a < 1\) эквивалентно \(\frac{1}{a} > 1\) и \(b \geq c\)

Так как у нас основание \(\frac{1}{3}\), что является положительным числом, то знак неравенства остается неизменным.

Продолжим:

\((18-6x) \leq \frac{(x-5)(x-3)}{x+2}\)

Умножим обе части выражения на \(x+2\), чтобы избавиться от знаменателя в правой части:

\((18-6x)(x+2) \leq (x-5)(x-3)\)

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(18x+36-6x^2-12x \leq x^2-8x-15\)

Упорядочим все слагаемые и приведем подобные:

\(0 \leq 7x^2-18x-51\)

Теперь получаем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или метода дискриминанта. Выберем метод дискриминанта.

Для этого найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\) с уравнения \(7x^2 - 18x - 51\) и проверим его значение:

\(D = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-51) = 324 + 1428 = 1752\)

Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два действительных корня.

Далее, найдем эти корни с помощью формулы дискриминанта:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{1752}}{2 \cdot 7}\)

\(x = \frac{18 \pm \sqrt{1752}}{14}\)

Это дает нам два корня:

\(x_1 = \frac{18 + \sqrt{1752}}{14}\)

\(x_2 = \frac{18 - \sqrt{1752}}{14}\)

Однако, для нашего неравенства, нам интересны только те значения \(x\), при которых выполняется неравенство \(0 \leq 7x^2 - 18x - 51\).

Проверим промежутки значений двух корней, чтобы узнать, при каких \(x\) неравенство выполняется.

Вычислим значение выражения \(0 \leq 7x^2 - 18x - 51\) для \(x_1\):

\(0 \leq 7\left(\frac{18 + \sqrt{1752}}{14}\right)^2 - 18\left(\frac{18 + \sqrt{1752}}{14}\right) - 51\)

Мы получаем:

\(0 \leq 7\left(\frac{18 + \sqrt{1752}}{14}\right)^2 - \frac{9}{7}(18 + \sqrt{1752}) - 51\)

Аналогично вычислим значение выражения для \(x_2\):

\(0 \leq 7\left(\frac{18 - \sqrt{1752}}{14}\right)^2 - \frac{9}{7}(18 - \sqrt{1752}) - 51\)

После вычислений, мы получаем:

\(0 \leq -\frac{1276}{49}\) (для \(x_1\))

\(0 \leq \frac{1276}{49}\) (для \(x_2\))

Таким образом, у нас получается, что неравенство \(0 \leq 7x^2 - 18x - 51\) не выполняется ни для каких значений \(x\).

В итоге, нет таких \(x\), которые удовлетворяют исходному неравенству \(\log_{\frac{1}{3}}(18-6x) \leq \log_{\frac{1}{3}}(x^2-8x+15) - \log_{\frac{1}{3}}(x+2)\).