Какой угол ДБС равен 40 минутам? Найти значение угла МАД в остроугольном треугольнике ABC, где проведены высота

Vesenniy_Veter_5210

34

Для решения этой задачи, давайте начнем с первой части: "Какой угол ДБС равен 40 минутам?" Угол ДБС обозначает угол между сторонами DB и BS в треугольнике ABC. Давайте обратимся к определению градусной меры угла: один градус равен 60 минутам. Таким образом, чтобы найти градусную меру угла ДБС, мы можем разделить 40 на 60:

\[
\text{Мера угла ДБС} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \text{ градуса}
\]

Теперь перейдем ко второй части задачи: "Найти значение угла МАД в остроугольном треугольнике ABC, где проведены высота СД и медиана АМ, известно, что BS=2AD". Давайте разберемся с заданными условиями. Мы знаем, что медиана АМ делит сторону BC пополам, то есть АМ – это половина стороны BC. Также известно, что сторона BS равна двум сторонам AD. Давайте обозначим сторону AD как x, тогда сторона BS будет равна 2x.

Теперь, чтобы найти значение угла МАД, нам понадобится использовать соотношение в треугольнике между сторонами и углами, известное как теорема синусов. Согласно этой теореме, соотношение между сторонами и соответствующими углами в остроугольном треугольнике выглядит следующим образом:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

Где a, b, и c - это длины сторон треугольника, A, B, и C - соответствующие им углы.

В нашем случае, мы знаем длины сторон AD, BS и AB. Давайте обозначим BC как d. Тогда мы можем записать следующие отношения:

\[
\frac{2x}{\sin \angle A} = \frac{d}{\sin \angle ADB} \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{d}{\sin \angle C} = \frac{AB}{\sin \angle ADB} \quad \text{(2)}
\]

Для решения этой системы уравнений нам нужно выразить угол МАД через известные величины. Для этого давайте рассмотрим треугольник ABC. Угол CAB – это прямой угол, поэтому его мера равна 90 градусов. Таким образом, мы можем выразить угол АDB через известные величины:

\[
\angle ADB = 180 - \angle CAB - \angle C = 180 - 90 - \angle C = 90 - \angle C
\]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнения (1) и (2):

\[
\frac{2x}{\sin \angle A} = \frac{d}{\sin (90 - \angle C)}
\]
\[
\frac{d}{\sin \angle C} = \frac{AB}{\sin (90 - \angle C)}
\]

Распишем синус разности углов:

\[
\frac{2x}{\sin \angle A} = \frac{d}{\sin 90 \cos \angle C - \cos 90 \sin \angle C}
\]
\[
\frac{d}{\sin \angle C} = \frac{AB}{\sin 90 \cos \angle C - \cos 90 \sin \angle C}
\]

Упростим уравнения, используя формулы синуса и косинуса для остроугольных углов:

\[
\frac{2x}{\sin \angle A} = \frac{d}{\cos \angle C}
\]
\[
\frac{d}{\sin \angle C} = \frac{AB}{\sin \angle C}

The fact that AB is a bisector implies that:

\[
\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD} \quad \text{(3)}
\]

Let"s substitute the known values and simplify:

\[
\frac{2x}{\sin \angle A} = \frac{d}{\cos \angle C} \quad \text{(4)}
\]
\[
\frac{d}{\sin \angle C} = \frac{AB}{\sin \angle C} \quad \text{(5)}
\]
\[
\frac{AB}{x} = \frac{2d}{d} \quad \text{(6)}
\]

From equation (6), we have:

\[
\frac{AB}{x} = 2 \quad \Rightarrow AB = 2x \quad \text{(7)}
\]

Let"s substitute equation (7) into equation (5) and simplify:

\[
\frac{d}{\sin \angle C} = \frac{2x}{\sin \angle C} \quad \Rightarrow d = 2x \quad \text{(8)}
\]

Now, substitute equations (7) and (8) into equation (4):

\[
\frac{2x}{\sin \angle A} = \frac{2x}{\cos \angle C} \quad \Rightarrow \sin \angle A = \cos \angle C \quad \text{(9)}
\]

Since ABC is an acute triangle, we know that \(\angle A + \angle C = 90^\circ\). Using this property, we can rewrite equation (9) as:

\[
\sin \angle A = \cos \angle (90 - \angle A) \quad \text{(10)}
\]

The angles in a triangle add up to 180 degrees, so we have:

\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]

Substituting known values, we get:

\[
\angle A + 90^\circ + \angle C = 180^\circ \quad \Rightarrow \angle A + \angle C = 90^\circ
\]

From this equation and equation (10), we can conclude that:

\[
\angle A = \angle (90 - \angle A)
\]

This means that the angle A is a complement of itself, which implies that:

\[
\angle A = 90^\circ - \angle A \quad \Rightarrow 2\angle A = 90^\circ \quad \Rightarrow \angle A = 45^\circ
\]

Finally, we can find the value of angle MAD by using the fact that the median divides the opposite side into two equal parts:

\[
\angle MAD = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle A - \angle C) = \frac{1}{2} (180^\circ - 45^\circ - (90^\circ - \angle A)) = \frac{1}{2} (180^\circ - 45^\circ - 45^\circ) = 45^\circ
\]

Таким образом, мы получили, что значение угла МАД равно 45 градусов.