1) В какой момент времени ускорение точки достигнет значения 24 м/с² при ее прямолинейном движении по закону

Galina

34

Задача 1: Для нахождения момента времени, когда ускорение точки достигает значения 24 м/с², нам нужно найти производную функции \(x(t)\), т.к. ускорение является второй производной по времени от функции координаты.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(x(t)\):
\[
v(t) = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(2t^3 + t - 3) = 6t^2 + 1
\]

Шаг 2: Найдем вторую производную:
\[
a(t) = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(6t^2 + 1) = 12t
\]

Шаг 3: Решим уравнение \(a(t) = 24\) для нахождения момента времени:
\[
12t = 24
\]

Делим обе части на 12:
\[
t = 2
\]

Ответ: Момент времени, когда ускорение точки достигает значения 24 м/с², равен 2 секундам.

Задача 2: Чтобы найти угловую скорость маховика в момент времени 2с, нам нужно найти производную функции угла поворота по времени.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(\phi(t)\):
\[
\omega(t) = \frac{{d\phi}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(t^4 - 5t) = 4t^3 - 5
\]

Шаг 2: Подставим \(t = 2\) в выражение для \(\omega(t)\):
\[
\omega(2) = 4(2)^3 - 5 = 4 \cdot 8 - 5 = 32 - 5 = 27
\]

Ответ: Угловая скорость маховика в момент времени 2 секунды равна 27 рад/с.

Задача 3: Чтобы найти скорость тела и его кинетическую энергию через 3с после начала движения, нам нужно найти производную функции координаты и использовать ее для расчета скорости и кинетической энергии.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(x(t)\):
\[
v(t) = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(2 - 3t + 2t^2) = -3 + 4t
\]

Шаг 2: Подставим \(t = 3\) в выражение для \(v(t)\):
\[
v(3) = -3 + 4 \cdot 3 = -3 + 12 = 9
\]

Ответ: Скорость тела через 3 секунды после начала движения равна 9 м/с.

Шаг 3: Для нахождения кинетической энергии тела, воспользуемся формулой:
\[
KE = \frac{1}{2} m v^2
\]

где \(m\) - масса тела, \(v\) - скорость тела. Подставим значения и рассчитаем:
\[
KE = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (9)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 81 = 81
\]

Ответ: Кинетическая энергия тела через 3 секунды после начала движения равна 81 Дж.

Шаг 4: Чтобы найти силу, действующую на тело в этот момент времени, воспользуемся вторым законом Ньютона:
\[
F = m \cdot a
\]

где \(m\) - масса тела, \(a\) - ускорение тела. Ускорение можно найти, взяв производную от \(v(t)\):
\[
a(t) = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(-3 + 4t) = 4
\]

Подставим значения и рассчитаем:
\[
F = 2 \cdot 4 = 8
\]

Ответ: Сила, действующая на тело в этот момент времени, равна 8 Н.