Какой угол М треугольника MNT имеет градусную меру, если координаты точек M(1;-1;3), N(3;-1;1), T(-1;1;3)?

Гоша

51

Чтобы найти угол М треугольника MNT, мы можем использовать формулу косинуса. Для этого нам потребуется найти длины сторон треугольника.

Длина стороны MN можно найти с помощью расстояния между двумя точками M и N в трехмерном пространстве. Формула для вычисления расстояния между двумя точками (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{ (x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2 + (z₂ - z₁)^2 }\]

Применяя эту формулу к точкам M(1;-1;3) и N(3;-1;1), мы получаем:

\[MN = \sqrt{ (3 - 1)^2 + (-1 - (-1))^2 + (1 - 3)^2 }\]
\[MN = \sqrt{2 + 0 + 4}\]
\[MN = \sqrt{6}\]

Аналогично, нам также потребуется найти длины сторон MT и NT. Вычисляя эти значения, мы получаем:

\[MT = \sqrt{ ( -1 - 1 )^2 + (1 - (-1))^2 + (3 - 3)^2 }\]
\[MT = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2}\]
\[MT = \sqrt{4 + 4 + 0}\]
\[MT = \sqrt{8}\]

\[NT = \sqrt{ ( -1 - 3 )^2 + (1 - (-1))^2 + (3 - 1)^2 }\]
\[NT = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 2^2}\]
\[NT = \sqrt{16 + 4 + 4}\]
\[NT = \sqrt{24}\]

Теперь, когда мы знаем длины всех трех сторон треугольника MNT, мы можем использовать формулу косинуса для нахождения угла М. Формула косинуса выглядит следующим образом:

\[\cos(M) = \frac{NT^2 + MN^2 - MT^2}{2 \cdot NT \cdot MN}\]

Заменяя значения в этой формуле, находим:

\[\cos(M) = \frac{(\sqrt{24})^2 + (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{8})^2}{2 \cdot \sqrt{24} \cdot \sqrt{6}}\]
\[\cos(M) = \frac{24 + 6 - 8}{2 \cdot \sqrt{24} \cdot \sqrt{6}}\]
\[\cos(M) = \frac{22}{2 \cdot \sqrt{24} \cdot \sqrt{6}}\]
\[\cos(M) = \frac{11}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{6}}\]

Итак, у нас получилось выражение для косинуса угла М. Чтобы узнать градусную меру этого угла, нам потребуется применить обратную функцию косинуса (арккосинус или acos). Давайте вычислим это значение:

\[M = \arccos\left(\frac{11}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{6}}\right)\]

Используя калькулятор, мы находим:

\[M \approx 53.13^\circ\]

Таким образом, угол М треугольника MNT имеет примерно 53.13 градуса.