Какой угол между прямыми LN и N1M1 в параллелепипеде KLMNK1L1M1N1 с ромбовидным основанием, где один из углов ромба

Rak_4953

14

Чтобы найти угол между прямыми LN и N1M1 в параллелепипеде KLMNK1L1M1N1 с ромбовидным основанием, нам необходимо использовать свойства параллелограмма и параллелепипеда. Давайте разберемся пошагово.

1. Дано, что угол ∠LMN равен 60°. Ромб LMNK - параллелограмм, поэтому угол ∠LNK также будет равен 60°.

2. В параллелепипеде KLMNK1L1M1N1 вектор LN параллелен вектору L1M1, потому что LN и L1M1 - это диагонали ромба LMN1M1. Также вектор LN параллелен вектору K1L1, так как объединяет соответствующие вершины ромба KLMNK1L1M1N1.

3. Углы между прямыми, параллельными плоскостям, равны соответственным углам их нормалей. Поэтому, чтобы найти угол между LN и N1M1, нам нужно найти угол между нормалями к этим плоскостям.

4. Для этого нам нужно найти косинус угла между векторами L1M1 и N1M1. Используем формулу скалярного произведения:
\[cos \theta = \frac{{\vec{L1M1} \cdot \vec{N1M1}}}{{|\vec{L1M1}| \cdot |\vec{N1M1}|}}\]

5. Заметим, что вектор L1M1 - это диагональ ромба KLMNK1L1M1N1, поэтому он равен L1N1. Также вектор N1M1 - это одна из сторон ромба KLMNK1L1M1N1, поэтому он равен N1K1.

6. Подставим значения в формулу:
\[cos \theta = \frac{{\vec{L1N1} \cdot \vec{N1K1}}}{{|\vec{L1N1}| \cdot |\vec{N1K1}|}}\]

7. Найдем скалярное произведение и модули векторов:
\[\vec{L1N1} \cdot \vec{N1K1} = |L1N1| \cdot |N1K1| \cdot cos \theta\]
\[|L1N1| \cdot |N1K1| \cdot cos \theta = |L1N1| \cdot |N1K1| \cdot cos 60°\]

8. Исключим одинаковые множители:
\[cos \theta = cos 60°\]

9. Найдем значение угла между прямыми:
\[\theta = acos( cos 60°)\]

10. Подставим значения и вычислим:
\[\theta = acos( \frac{1}{2})\]
\[\theta \approx 60°\]

Таким образом, угол между прямыми LN и N1M1 в параллелепипеде KLMNK1L1M1N1 с ромбовидным основанием, где один из углов ромба ∠LMN составляет 60°, равен 60°.