Какой угол образует диагональ куба с плоскостью основания, если длина его ребра равна 17 м? Отметь правильный вариант

Милана

62

Для решения этой задачи нам понадобится представление о геометрической структуре куба. Куб - это правильный многогранник, у которого все грани являются квадратами, все ребра имеют одинаковую длину, а все углы между ребрами равны 90 градусам.

Итак, чтобы найти угол между диагональю куба и плоскостью основания, нам понадобится представление о диагонали и о плоскости основания. Пусть вершина куба будет в точке A, а его центр будет в точке P (середина диагонали).

Сначала найдем длину диагонали куба. В кубе все ребра имеют одинаковую длину, поэтому каждая грань является квадратом со стороной, равной длине ребра. В то же время, каждая диагональ квадрата равна длине стороны умноженной на √2. Таким образом, для нахождения диагонали куба, нам нужно умножить длину ребра на √2.

Длина диагонали куба равна:
\[d = a \times \sqrt{2}\]
где \(d\) - длина диагонали, \(a\) - длина ребра.

Подставляя значение \(a = 17\) м:
\[d = 17 \times \sqrt{2}\]

Теперь, чтобы найти угол между диагональю куба и плоскостью основания, мы можем использовать свойство параллелограмма. Вершина куба находится в точке A, центр диагонали находится в точке P, а точка пересечения диагонали с плоскостью основания находится в точке B.

Угол между диагональю куба и плоскостью основания равен углу между отрезками AB и AP, так как AB и AP являются параллельными сторонами параллелограмма.

Таким образом, чтобы найти угол, нам нужно найти тангенс этого угла, используя соотношение:
\[ \tan(\angle BAP) = \frac{AB}{AP}\]

Так как мы знаем длину ребра (a) и длину диагонали (d), мы можем найти длину отрезка AB и AP, используя теорему Пифагора.

Длина отрезка AB равна:
\[AB = \sqrt{d^2 - a^2}\]

Длина отрезка AP равна половине длины диагонали:
\[AP = \frac{d}{2}\]

Подставляя значения \(a = 17\) м и \(d = 17 \times \sqrt{2}\) м:
\[AB = \sqrt{(17 \times \sqrt{2})^2 - 17^2}\]
\[AB = \sqrt{2 \times 17^2 - 17^2}\]
\[AB = \sqrt{17^2}\]
\[AB = 17\]

\[AP = \frac{17 \times \sqrt{2}}{2} = 8.5 \times \sqrt{2}\]

Теперь, мы можем вычислить тангенс угла BAP:
\[\tan(\angle BAP) = \frac{AB}{AP} = \frac{17}{8.5 \times \sqrt{2}}\]

Для удобства вычислений, давайте упростим это выражение, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[\tan(\angle BAP) = \frac{17 \times \sqrt{2}}{8.5 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{17 \times \sqrt{2}}{8.5 \times 2}\]
\[\tan(\angle BAP) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Тангенс 45 градусов равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Таким образом, угол между диагональю куба и плоскостью основания составляет 45 градусов.

Ответ: Угол между диагональю куба и плоскостью основания равен 45 градусов.