Какой угол образует прямая, проходящая через вектор а (2;1;-1), с плоскостью α: 3х+4у-2z=0? Заранее благодарю

Пугающая_Змея_1925

64

Для начала нам необходимо установить, как прямая, проходящая через вектор \(\mathbf{a}\), пересекается с плоскостью \(\alpha\). Если прямая пересекает плоскость, то она образует угол с этой плоскостью.

Для определения угла проведем нормаль из точки на прямой до плоскости. Поскольку плоскость задана уравнением \(3x + 4y - 2z = 0\), то нормаль к плоскости будет вектором, коэффициенты которого совпадают с коэффициентами уравнения.

Теперь найдем точку \(\mathbf{P}\) на прямой, через которую проходит вектор \(\mathbf{a}\). Так как \(\mathbf{a}\) является направляющим вектором прямой, мы можем выбрать любую точку, через которую она проходит. Пусть \(\mathbf{P} = (x_0, y_0, z_0)\).

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, мы можем использовать формулу:

\[\cos{\theta} = \frac{{\mathbf{n} \cdot \mathbf{a}}}{{|\mathbf{n}| \cdot |\mathbf{a}|}}\]

где \(\theta\) - угол между прямой и плоскостью, \(\mathbf{n}\) - нормальный вектор плоскости, а \(\mathbf{a}\) - направляющий вектор прямой.

Теперь давайте выполнять пошаговые решения:

1. Поскольку плоскость \(\alpha\) задана уравнением \(3x + 4y - 2z = 0\), нормальный вектор \(\mathbf{n}\) будет иметь коэффициенты, совпадающие с коэффициентами уравнения. Таким образом, \(\mathbf{n} = (3, 4, -2)\).

2. Пусть точка \(\mathbf{P}\) на прямой имеет координаты \((x_0, y_0, z_0)\).

3. Вектор \(\mathbf{a}\), проходящий через точку \(\mathbf{P}\) и имеющий тот же направляющий вектор, будет иметь вид \(\mathbf{a} = \mathbf{P} - \mathbf{a_0}\).

4. Теперь мы можем найти угол \(\theta\) между векторами \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{a}\), подставив значения в формулу угла:

\[\cos{\theta} = \frac{{(3, 4, -2) \cdot (x_0 - 2, y_0 - 1, z_0 + 1)}}{{\left\|\mathbf{n}\right\| \cdot \left\|\mathbf{a}\right\|}}\]

5. Вычислим скалярное произведение в числительной части формулы:

\[\cos{\theta} = \frac{{3(x_0 - 2) + 4(y_0 - 1) - 2(z_0 + 1)}}{{\left\|\mathbf{n}\right\| \cdot \left\|\mathbf{a}\right\|}}\]

6. Учитывая, что \(\left\|\mathbf{n}\right\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}\) и \(\left\|\mathbf{a}\right\| = \sqrt{(x_0 - 2)^2 + (y_0 - 1)^2 + (z_0 + 1)^2}\), мы можем записать формулу угла \(\theta\):

\[\cos{\theta} = \frac{{3(x_0 - 2) + 4(y_0 - 1) - 2(z_0 + 1)}}{{\sqrt{29} \cdot \sqrt{(x_0 - 2)^2 + (y_0 - 1)^2 + (z_0 + 1)^2}}}\]

Это уравнение позволит нам выразить угол \(\theta\) через координаты точки \(\mathbf{P}\), через которую проходит прямая.