Какой угол образуют плоскость боковой грани и плоскость основания правильной четырехугольной пирамиды, если диагональ

Жираф

22

Для решения данной задачи нам необходимо использовать геометрические свойства правильной четырехугольной пирамиды.

Давайте вначале рассмотрим боковую грань пирамиды, обозначим ее как ABDE. Заметим, что основание этой грани является прямоугольным треугольником ADE, где длины сторон равны 1 и 2, так как диагональ основания пирамиды равна 2.

Поделим треугольник ADE на два прямоугольных треугольника ADE" и AEE". Поскольку высота пирамиды равна 1, то координаты точек E" и D" будут следующими: E"(1, 1, 0) и D"(2, 0, 0).

Теперь давайте рассмотрим плоскость основания пирамиды, обозначим ее как ABCD. Она также является прямоугольным треугольником ABC, где длины сторон равны 1 и 2.

Возьмем векторное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\), чтобы найти вектор нормали к плоскости боковой грани. Записывая эти векторы в столбцы матрицы и вычисляя определитель, получим следующий результат:

\[
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}
= i(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - j(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) + k(1 \cdot 0 - 2 \cdot 0)
= -i + j
\]

Таким образом, вектор нормали к плоскости боковой грани имеет координаты (-1, 1, 0).

Для нахождения угла между этими плоскостями воспользуемся формулой скалярного произведения двух векторов:

\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}|}
\]

Учитывая, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) являются единичными векторами (их длины равны 1), а скалярное произведение равно произведению коэффициентов перед i, j и k, имеем:

\[
\cos(\theta) = \frac{-1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0}{1 \cdot 1}
= -1
\]

Так как косинус угла \(\theta\) равен -1, угол \(\theta\) равен 180 градусов.

Итак, угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды равен 180 градусов.