Докажите, что угол PKL прямой. Найдите площадь треугольника XYL, если PS=16 и PQ=4

Лисичка

15

Чтобы доказать, что угол PKL прямой (т.е. равен 90 градусам), нам потребуется использовать свойство перпендикулярных прямых, а также знание о свойствах треугольника.

1. Рассмотрим отрезок PK. У нас есть информация, что PS = 16 и PQ = 4. Знаем, что PK это гипотенуза прямоугольного треугольника SPQ. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора: \(PK^2 = PS^2 + PQ^2\).

Подставляем известные значения: \(PK^2 = 16^2 + 4^2\).
Решаем уравнение: \(PK^2 = 256 + 16 = 272\).
Извлекаем квадратный корень: \(PK = \sqrt{272}\).

2. Теперь рассмотрим треугольник PKL. Чтобы доказать, что угол PKL прямой, нам необходимо использовать свойства перпендикулярных прямых.

Можно заметить, что отрезки PK и PL являются двумя сторонами прямоугольного треугольника PKL, а гипотенуза PK равна \(\sqrt{272}\) - полученному нами ранее значению.

Если мы докажем, что сторона KL равна \(\sqrt{272}\), то сможем использовать теорему Пифагора, чтобы подтвердить, что треугольник PKL - прямоугольный.

3. Рассмотрим треугольник PQL. Поскольку PQ = 4 и QL = 0 (так как отрезок LQ - это отрезок на оси y, начинающийся в точке Q и заканчивающийся в точке L, а точка L находится на оси x), то отрезок PL является гипотенузой прямоугольного треугольника PQL.

Используем теорему Пифагора: \(PL^2 = PQ^2 + QL^2\).
Подставляем известные значения: \(PL^2 = 4^2 + 0^2 = 4^2\).
Решаем уравнение: \(PL^2 = 16\).
Извлекаем квадратный корень: \(PL = \sqrt{16}\).

Таким образом, мы нашли длины всех сторон треугольника PKL: PK = \(\sqrt{272}\), PL = \(\sqrt{16}\) и KL = \(\sqrt{272}\).

4. Теперь сравним длины сторон треугольника PKL.

Мы видим, что PK и KL имеют одинаковую длину (\(\sqrt{272}\)), что означает, что треугольник PKL удовлетворяет условию равнобедренности.
Поскольку PKL - равнобедренный треугольник, его бедро KL будет перпендикулярно основанию PK, то есть угол PKL будет прямым.

Таким образом, мы доказали, что угол PKL прямой.

Теперь перейдем ко второй части задания - нахождению площади треугольника XYL.

Для нахождения площади треугольника нам понадобится знание формулы для нахождения площади треугольника по длинам его сторон.

Формула Герона для площади треугольника: \(s = \frac{a+b+c}{2}\), где a, b и c - стороны треугольника.

В нашем случае, стороны треугольника XYL равны PS, PQ и PL.

Подставим известные значения: \(s = \frac{PS + PQ + PL}{2} = \frac{16 + 4 + \sqrt{16}}{2}\).

Решаем выражение в скобках: \(s = \frac{20 + \sqrt{16}}{2} = \frac{20 + 4}{2}\).

Сокращаем дробь: \(s = \frac{24}{2} = 12\).

Таким образом, периметр треугольника XYL равен 24.

Теперь, используя формулу Герона для площади, мы можем вычислить площадь треугольника XYL: \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), где s - полупериметр треугольника, а a, b и c - его стороны.

Подставляем известные значения: \(S = \sqrt{12(12-16)(12-4)(12-\sqrt{16})}\).

Вычисляем в скобках: \(S = \sqrt{12(-4)(8)(12-4)}\).

Упрощаем выражение: \(S = \sqrt{-192(-8)(8)}\).

Получаем: \(S = \sqrt{12288}\).

Итак, площадь треугольника XYL равна \(\sqrt{12288}\).