Какой угол образуют прямая AC1 и прямая, проходящая через середины отрезков AA1 и B1C1, в прямоугольном параллелепипеде

Станислав

33

Чтобы найти угол между прямой AC1 и прямой, проходящей через середины отрезков AA1 и B1C1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, нам понадобится использовать геометрические свойства параллелограммов.

Давайте разберемся с задачей пошагово.

Шаг 1: Представьте себе параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с заданными размерами.

Шаг 2: Поскольку AD = 6 и AB = 3, мы можем предположить, что прямые AC1 и A1C1 имеют одинаковую длину. Это следует из того факта, что данный параллелепипед является прямоугольным, и его боковые грани являются прямоугольниками.

Шаг 3: Теперь нам нужно найти середины отрезков AA1 и B1C1.

Середину отрезка можно найти, разделив сумму координат начальной и конечной точек на 2. Таким образом, середина отрезка AA1 будет иметь координаты \((\frac{1}{2}(A_x + A1_x), \frac{1}{2}(A_y + A1_y), \frac{1}{2}(A_z + A1_z))\).

Шаг 4: Следуя этим правилам, мы можем найти середину отрезка AA1:

\[(\frac{1}{2}(A_x + A1_x), \frac{1}{2}(A_y + A1_y), \frac{1}{2}(A_z + A1_z)) = (\frac{1}{2}(0 + 0), \frac{1}{2}(0 + 2), \frac{1}{2}(0 + 0)) = (0, 1, 0).\]

Шаг 5: Для нахождения прямой, проходящей через середины отрезков AA1 и B1C1, нам нужно знать две точки на этой прямой. Мы уже нашли одну точку - середину отрезка AA1. Теперь нам нужно найти середину отрезка B1C1.

Шаг 6: С использованием того же правила для нахождения середины отрезка, мы можем найти середину отрезка B1C1:

\[(\frac{1}{2}(B1_x + C1_x), \frac{1}{2}(B1_y + C1_y), \frac{1}{2}(B1_z + C1_z)) = (\frac{1}{2}(3 + 3), \frac{1}{2}(0 + 0), \frac{1}{2}(0 + 2)) = (3, 0, 1).\]

Шаг 7: Теперь у нас есть две точки на прямой, проходящей через середины отрезков AA1 и B1C1 - (0, 1, 0) и (3, 0, 1).

Шаг 8: Чтобы найти угол между прямой AC1 и прямой, проходящей через эти две точки, мы можем воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя векторами:

\[\cos \theta = \frac{{\overrightarrow{AC1} \cdot \overrightarrow{PQ}}}{{|\overrightarrow{AC1}| \cdot |\overrightarrow{PQ}|}}.\]

где \( \overrightarrow{AC1} \) - вектор, указывающий на направление прямой AC1, а \( \overrightarrow{PQ} \) - вектор, указывающий на направление прямой, проходящей через точки (0, 1, 0) и (3, 0, 1).

Шаг 9: Найдем вектор \( \overrightarrow{AC1} \):

\( \overrightarrow{AC1} = (C1_x - A_x, C1_y - A_y, C1_z - A_z) = (3 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (3, 0, 1)\).

Шаг 10: Теперь найдем вектор \( \overrightarrow{PQ} \):

\( \overrightarrow{PQ} = (Q_x - P_x, Q_y - P_y, Q_z - P_z) = (3 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (3, -1, 1)\).

Шаг 11: Найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AC1} \cdot \overrightarrow{PQ} \):

\( \overrightarrow{AC1} \cdot \overrightarrow{PQ} = (3)(3) + (0)(-1) + (1)(1) = 9 + 0 + 1 = 10.\)

Шаг 12: Найдем модуль вектора \( \overrightarrow{AC1} \):

\( |\overrightarrow{AC1}| = \sqrt{(3)^2 + (0)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}.\)

Шаг 13: Найдем модуль вектора \( \overrightarrow{PQ} \):

\( |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}.\)

Шаг 14: Подставим значения в формулу для нахождения угла:

\[\cos \theta = \frac{{\overrightarrow{AC1} \cdot \overrightarrow{PQ}}}{{|\overrightarrow{AC1}| \cdot |\overrightarrow{PQ}|}} = \frac{{10}}{{\sqrt{10} \cdot \sqrt{11}}}.\]

Шаг 15: Найдем значение угла, используя обратную функцию косинуса:

\[\theta = \arccos\left(\frac{{10}}{{\sqrt{10} \cdot \sqrt{11}}}\right).\]

Теперь, чтобы получить числовое значение угла, нам нужно вычислить это выражение с помощью калькулятора.

Итак, мы выполнили все необходимые шаги для решения данной задачи. Осталось только посчитать значение угла с помощью калькулятора, используя формулу \(\theta = \arccos\left(\frac{{10}}{{\sqrt{10} \cdot \sqrt{11}}}\right).\)

Удачи!