Какой угол падения, α, и какая наименьшая толщина пленки, d2, обеспечат максимальное усиление отраженных лучей

Таинственный_Акробат

35

Для начала, рассмотрим случай полного внутреннего отражения внутри пленки. Когда угол падения становится больше критического угла \( \theta_c \), отраженных лучей больше не возникает, и интерференция нарушается.

Критический угол \( \theta_c \) можно вычислить, используя формулу полного внутреннего отражения:
\[ \theta_c = \arcsin \left( \frac{n_2}{n_1} \right) \]

В данном случае, угол падения \(\alpha\) может быть меньше или больше критического угла \( \theta_c \). Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Угол падения \(\alpha\) меньше критического угла \( \theta_c \)

В этом случае происходит как преломление, так и отражение лучей на границе раздела пленки и воздуха. Для максимального усиления интерференцией, необходимо, чтобы разность хода между отраженными лучами была равна целому числу полуволн. Формула для разности хода в этом случае имеет вид:
\[ 2n_2 d_2 \cos (\alpha) = m \lambda, \]
где \( m \) - целое число (1, 2, 3, ...), \( n_2 \) - показатель преломления пленки, \( d_2 \) - толщина пленки, \( \alpha \) - угол падения, \( \lambda \) - длина волны.

Случай 2: Угол падения \(\alpha\) больше критического угла \( \theta_c \)

В этом случае преломление не происходит, и все падающие лучи полностью отражаются. Так как пленка очень тонкая, интерференционные полосы будут достаточно тонкими и разность хода можно вычислить только между первым отраженным лучом и падающим лучом. Формула для разности хода в этом случае имеет вид:
\[ 2n_2 d_2 \cos (\alpha) - 2n_1 d_1 = 0 \]

Теперь давайте приступим к решению задачи для каждого случая.

Решение для случая 1: Угол падения \(\alpha\) меньше критического угла \( \theta_c \)

Мы знаем, что \( n_1 = 1,25 \), \( n_2 = 1,50 \), \( \lambda = 0,35 \) мкм и \( d_1 = 0,0971 \) мкм.

Критический угол \( \theta_c \) можно вычислить следующим образом:
\[ \theta_c = \arcsin \left( \frac{1,50}{1,25} \right) \approx 0,99 \, \text{рад} \]

Так как \( \alpha < \theta_c \), мы можем использовать формулу разности хода:
\[ 2n_2 d_2 \cos (\alpha) = m \lambda \]

Для максимального усиления интерференцией, нас интересует первое полное усиление, поэтому положим \( m = 1 \).

Теперь нам нужно выразить \( d_2 \) через известные величины:
\[ d_2 = \frac{m \lambda}{2n_2 \cos (\alpha)} = \frac{1 \cdot 0,35}{2 \cdot 1,50 \cdot \cos (\alpha)} \]

Таким образом, мы получили выражение для толщины пленки \( d_2 \) в зависимости от угла падения \( \alpha \):
\[ d_2 = \frac{0,35}{3 \cdot \cos (\alpha)} \]

Решение для случая 2: Угол падения \(\alpha\) больше критического угла \( \theta_c \)

Мы знаем, что \( n_1 = 1,25 \), \( n_2 = 1,50 \), \( \lambda = 0,35 \) мкм и \( d_1 = 0,0971 \) мкм.

В этом случае разность хода равна нулю:
\[ 2n_2 d_2 \cos (\alpha) - 2n_1 d_1 = 0 \]

Теперь нам нужно выразить \( d_2 \) через известные величины:
\[ d_2 = \frac{2n_1 d_1}{2n_2 \cos (\alpha)} = \frac{1,25 \cdot 0,0971}{1,50 \cdot \cos (\alpha)} \]

Таким образом, мы получили выражение для толщины пленки \( d_2 \) в зависимости от угла падения \( \alpha \):
\[ d_2 = \frac{0,0971}{1,50 \cdot \cos (\alpha)} \]

Таким образом, ответ на задачу состоит из двух формул для \( d_2 \) в разных случаях:

1. Для угла падения \(\alpha\), который меньше критического угла \( \theta_c \):
\[ d_2 = \frac{0,35}{3 \cdot \cos (\alpha)} \]

2. Для угла падения \(\alpha\), который больше критического угла \( \theta_c \):
\[ d_2 = \frac{0,0971}{1,50 \cdot \cos (\alpha)} \]

При решении задачи можно использовать эти формулы для вычисления \( d_2 \) в зависимости от заданного угла падения \(\alpha\).