Какой вывод можно сделать о площади закрашенного четырехугольника, если его вершины соединены с серединами его сторон?

Zolotoy_Ray

37

Если вершины четырехугольника соединены с серединами его сторон, то мы получаем специальный четырехугольник, который называется медиантным четырехугольником. Давайте рассмотрим подробно этот случай.

Для начала, давайте обозначим вершины исходного четырехугольника - A, B, C и D, а середины его сторон - M, N, P и Q соответственно. Проведем отрезки, соединяющие середины сторон четырехугольника: от M до N, от N до P, от P до Q и от Q до M. Результатом будет медиантный четырехугольник, как показано на рисунке.

\[
\begin{array}{cccccccc}
&A && B && C && D\\
& \uparrow && \uparrow && \uparrow && \uparrow\\
&M && N && P && Q\\
\end{array}
\]

Теперь давайте рассмотрим свойства медиантного четырехугольника.

Свойство 1: Стороны медиантного четырехугольника параллельны сторонам исходного четырехугольника.

Свойство 2: Стороны медиантного четырехугольника равны половине соответствующих сторон исходного четырехугольника.

Теперь давайте рассмотрим площади медиантного четырехугольника и исходного четырехугольника.

Заметим, что все стороны медиантного четырехугольника равны половине соответствующих сторон исходного четырехугольника. Так как площадь прямоугольника пропорциональна произведению его сторон, то площадь медиантного четырехугольника будет равна четверти площади исходного четырехугольника (т.е., площадь исходного четырехугольника умноженная на 0.25, или 1/4 площади исходного четырехугольника).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что площадь медиантного четырехугольника составляет 1/4 площади исходного четырехугольника.

Надеюсь, это решение было понятным и полезным! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.