Какова площадь трапеции, около которой описана окружность радиусом 5 см, если сумма длин ее боковых сторон составляет

Сумасшедший_Рыцарь_6315

48

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства трапеции и окружности. Давайте разберемся пошагово.

1. Сначала найдем длину диаметра окружности, описанной вокруг трапеции. Диаметр является суммой двух боковых сторон трапеции. Пусть эта сумма равна \(d\).

2. Радиус окружности равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{d}{2}\).

3. Площадь окружности можно найти по формуле \(S = \pi r^2\), где \(\pi\) - это математическая константа, приближенно равная 3.14.

4. Площадь трапеции можно выразить через диагонали. Пусть одна диагональ трапеции равна \(d_1\), а другая - \(d_2\).

5. Площадь трапеции равна \(S_{\text{трапеции}} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h\), где \(h\) - это высота трапеции.

6. Поскольку трапеция описана около окружности, ее диагонали являются хордами окружности. Из свойств хорд, мы знаем, что если две хорды пересекаются в точке A внутри окружности, то их произведение равно значению произведения отрезков хорды, находящихся от точки A до границ окружности.

7. В нашем случае, диагонали трапеции пересекаются в точке A внутри окружности, а значит \(d_1 \cdot d_2 = 2r^2\).

Теперь, используя эти свойства, приступим к решению задачи.

Пусть сумма длин боковых сторон трапеции равна \(d\). Тогда одна сторона равна \(\frac{d}{2}\). Поскольку эта сторона является основанием трапеции, то в основании она параллельна второй стороне трапеции.

Таким образом, мы можем разделить трапецию на два треугольника, треугольник между этой стороной и диагональю, и треугольник между этой стороной и другой диагональю.

Из свойств треугольника, мы знаем, что треугольник с диагональю является прямоугольным. Пусть этот треугольник имеет высоту \(h_1\), а второй треугольник - высоту \(h_2\). Тогда высоты треугольников равны половине диаметра окружности, то есть \(h_1 = h_2 = \frac{d}{2}\).

Теперь, используя формулу площади трапеции и зная высоту треугольников, запишем соотношение:

\[S_{\text{трапеции}} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h = \frac{\frac{d}{2} + \frac{d}{2}}{2} \cdot \frac{d}{2} = \frac{d \cdot d}{4} = \frac{d^2}{4}\]

Из свойств трапеции мы знаем, что \(d^2 = 4S_{\text{трапеции}}\), а из свойств окружности мы знаем, что \(d^2 = 4r^2\).

Теперь вспомним формулу площади окружности и запишем выражение для площади трапеции через радиус:

\[S_{\text{трапеции}} = \pi r^2\]

Подставим в это выражение \(r = \frac{d}{2}\) и \(d^2 = 4r^2\):

\[S_{\text{трапеции}} = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{4r^2}{4}\right) = \pi r^2\]

Таким образом, площадь трапеции равна площади окружности радиусом \(r\), то есть \(S_{\text{трапеции}} = \pi \cdot 5^2 = 25 \pi\) квадратных см.

Ответ: Площадь трапеции, около которой описана окружность радиусом 5 см, равна \(25 \pi\) квадратных см.