Какой закон описывает изменение напряжения в цепи с идеализированной катушкой, если ток в ней изменяется по закону

Skvorec

16

Спасибо за ваш вопрос! Закон, описывающий изменение напряжения в цепи с идеализированной катушкой при изменении тока по закону \(i = \Im \sin(\omega t - 90^\circ)\), называется законом индукции Фарадея. Давайте рассмотрим этот закон более подробно.

Закон индукции Фарадея утверждает, что электродвижущая сила (ЭДС) индукции в замкнутом контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего данный контур. Формула для расчета ЭДС индукции выглядит следующим образом:

\[ \mathcal{E} = -N \cdot \frac{d\Phi}{dt} \]

где:
- \(\mathcal{E}\) - электродвижущая сила (э. д. с.),
- \(N\) - количество витков в катушке,
- \(\frac{d\Phi}{dt}\) - скорость изменения магнитного потока, пронизывающего контур.

Для идеализированной катушки с индуктивностью \(L\) и током \(i\), магнитный поток \(\Phi\) можно выразить следующим образом:

\[ \Phi = L \cdot i \]

Теперь, чтобы применить закон индукции Фарадея к задаче, нам необходимо найти скорость изменения магнитного потока \(\frac{d\Phi}{dt}\). Рассмотрим, что у нас присутствует синусоидальный ток \(i = \Im \sin(\omega t - 90^\circ)\).

Для нахождения скорости изменения магнитного потока \(\frac{d\Phi}{dt}\) мы возьмем производную от \(L \cdot i\) по \(t\). Для упрощения выкладок, заметим, что \(\sin(\omega t - 90^\circ) = -\cos(\omega t)\). Подставим это в уравнение и найдем производную:

\[ \frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt}(L \cdot \Im \sin(\omega t - 90^\circ)) \]
\[ = -L \cdot \Im \cdot \frac{d}{dt}(\cos(\omega t)) \]
\[ = -L \cdot \Im \cdot (-\omega \sin(\omega t)) \]
\[ = L \cdot \Im \cdot \omega \sin(\omega t) \]

Теперь, с учетом этого значения, мы можем записать закон индукции Фарадея для заданной цепи:

\[ \mathcal{E} = -N \cdot \frac{d\Phi}{dt} \]
\[ = -N \cdot L \cdot \Im \cdot \omega \sin(\omega t) \]

Таким образом, закон индукции Фарадея для данной ситуации будет иметь вид:

\[ \mathcal{E} = -N \cdot L \cdot \Im \cdot \omega \sin(\omega t) \]

Надеюсь, эта информация стала полезной для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.