Какой заряд должен быть передан шарику, чтобы он, подвешенный на шелковой нити, образовал с вертикалью угол

Ledyanaya_Pustosh

64

Хорошо, чтобы решить данную задачу, нам понадобятся некоторые основные понятия электростатики.

Первым шагом рассмотрим силы, действующие на шарик в данной ситуации. Учитывая, что шарик находится в электрическом поле, на него будет действовать электрическая сила и сила натяжения шелковой нити.

1. Электрическая сила:
Электрическая сила \(F_e\) на заряженный шарик в электрическом поле может быть выражена по формуле:
\[F_e = q \cdot E,\]
где \(q\) - заряд шарика, а \(E\) - напряженность электрического поля.

2. Сила натяжения нити:
Сила натяжения нити, действующая на шарик, направлена вдоль нити и равна силе тяжести \(F_g\), т.е.
\[F_g = m \cdot g,\]
где \(m\) - масса шарика, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Так как шарик находится в равновесии, сумма этих двух сил должна быть равна нулю:
\[F_e + F_g = 0.\]

Теперь найдем выражение для электрической силы, используя данную формулу:
\[q \cdot E + m \cdot g = 0.\]

В задаче нам дан угол \(\theta = 11°\), который шарик образует с вертикалью. Воспользуемся геометрическим соотношением между углом \(\theta\) и углом между шелковой нитью и горизонтальной плоскостью \(\alpha\):
\(\alpha = 90° - \theta.\)

Учитывая это, направление электрической силы \(F_e\) будет совпадать с направлением натяжения нити. То есть, \(F_e\) и \(m \cdot g\) будут направлены вдоль нити (горизонтально). Поэтому мы можем заменить \(F_g\) на \(m \cdot g \cdot \sin(\alpha)\):
\[q \cdot E + m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = 0.\]

Мы знаем напряженность электрического поля \(E = 160 \, \text{кв/м}\) и ускорение свободного падения \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\). Для дальнейшего решения нам нужно узнать массу шарика \(m\).

Для этого воспользуемся геометрическим свойством подобных треугольников. Для малых углов справедливо:
\[\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \alpha.\]

Таким образом, можем записать уравнение в виде:
\[q \cdot E + m \cdot g \cdot \alpha = 0.\]

Теперь нам нужно выразить массу шарика \(m\) через известные величины. Мы знаем, что сила тяжести равна силе натяжения шелковой нити, поэтому можно записать:
\[m \cdot g = T,\]
где \(T\) - сила натяжения шелковой нити.

Так как нить идеально шелковая, то ее натяжение следует закону Гука. Поэтому:
\[T = k \cdot l,\]
где \(k\) - коэффициент упругости шелковой нити, \(l\) - длина шелковой нити.

Теперь уравнение можно записать в виде:
\[q \cdot E + k \cdot l \cdot \alpha = 0.\]

Нам осталось найти длину шелковой нити \(l\). Рассмотрим треугольник, образованный шелковой нитью и горизонтальной плоскостью. Этот треугольник содержит прямой угол и угол \(\alpha\). Длина шелковой нити \(l\) будет являться гипотенузой этого треугольника, поэтому:
\[l = \frac{h}{\cos(\alpha)},\]
где \(h\) - высота подвешенного шарика.

Таким образом, окончательное уравнение примет вид:
\[q \cdot E + k \cdot \frac{h}{\cos(\alpha)} \cdot \alpha = 0.\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно заряда шарика \(q\). Подставим известные значения в данное уравнение и найдем \(q\).

Обоснование: В данном решении мы использовали основные законы электростатики и геометрические свойства подобных треугольников. Также мы сделали предположение о малости угла \(\alpha\), чтобы использовать аппроксимацию \(\sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) \approx \alpha\). Это допустимо, если угол \(\alpha\) мал.