Какой знаменатель у обыкновенной несократимой дроби, которая при переводе в десятичное число даёт 0,1580(20)?

Кедр_449

69

Для начала давайте разберемся с тем, как перевести обыкновенную несократимую дробь в десятичное число. Для этого мы делим числитель на знаменатель.

В данном случае у нас есть дробь \(0,1580(20)\). Чтобы найти ее знаменатель, мы должны понять, какие числа повторяются в десятичной дроби.

Для этого посмотрим на цифры после запятой. У нас есть ограниченный блок цифр - \(1580\), а затем следует повторяющийся блок - \(20\). Для простоты обозначим первый блок цифр как \(a\) и второй блок цифр как \(b\).

Теперь вспомним, что десятичная дробь может быть представлена в виде:

\[0,a + \frac{b}{10^n}.\]

Мы знаем, что у нас повторяющийся блок, поэтому нужно выразить этот блок как обычную десятичную дробь с знаменателем. Для этого мы разделим \(b\) на \(10^n - 1\), где \(n\) - это количество цифр в блоке \(b\).

В нашем случае, \(b = 20\) и \(n = 2\), так как блок состоит из двух цифр. Поэтому мы можем записать:

\[\frac{b}{10^n - 1} = \frac{20}{10^2 - 1} = \frac{20}{99}.\]

Теперь мы можем записать исходную десятичную дробь в виде:

\[0,a + \frac{20}{99}.\]

Мы хотим, чтобы эта дробь была несократимой, то есть чтобы числитель и знаменатель были взаимно простыми (не имели общих делителей, кроме 1).

Мы знаем, что дробь несократима, если числитель и знаменатель НОД (наибольший общий делитель) равны 1.

Давайте найдем НОД числителя \(a\) и знаменателя \(\frac{20}{99}\). НОД \(a\) и \(20\) равен 1, потому что \(a\) - это двузначное число, а все двузначные числа взаимно просты с 20. НОД \( \frac{20}{99} \) и \(20\) также равен 1, потому что 20 не является делителем \(\frac{20}{99}\).

Таким образом, мы видим, что знаменатель дроби \(\frac{20}{99}\) является несократимым.

Итак, ответ на задачу: знаменатель обыкновенной несократимой дроби, которая при переводе в десятичное число даёт 0,1580(20), равен 99.