Какую длину стороны квадратного стола нужно выбрать для прямоугольной комнаты так, чтобы она была на 180 см короче

Бася_7739

4

Для решения этой задачи нам понадобится использовать знания о связи между площадью квадрата и его стороной, а также о связи между площадью прямоугольника и длинами его сторон.

Пусть длина стороны квадратного стола будет равна \(x\) см. Тогда площадь стола будет равна \(x^2\) квадратных сантиметров.

По условию задачи, длина комнаты на 180 см короче одной стены, а длина комнаты на 230 см короче другой стены. Пусть длина стены, от которой комната короче на 180 см, будет равна \(a\) см, а длина стены, от которой комната короче на 230 см, будет равна \(b\) см.

Тогда площадь комнаты будет равна \((a+180)(b+230)\) квадратных сантиметров.

Из условия задачи также известно, что площадь комнаты больше площади стола на 86500 квадратных сантиметров, то есть \((a + 180)(b + 230) - x^2 = 86500\).

Нашей целью является нахождение значения \(x\), длины стороны стола.

Для решения уравнения возьмём значение площади комнаты и стола, которые известны нам из условия задачи: площадь комнаты равна \(86500 + x^2\) и площадь стола равна \(x^2\).

Теперь подставим известные значения в уравнение:

\((a + 180)(b + 230) - x^2 = 86500 + x^2\).

Раскроем скобки:

\(ab + 230a + 180b + 41400 - x^2 = 86500 + x^2\).

Перенесём все члены уравнения на одну сторону:

\(ab + 230a + 180b - 45100 = 2x^2\).

Теперь уравнение можно записать в виде:

\[2x^2 = ab + 230a + 180b - 45100.\]

Или в более удобной для решения форме:

\[x^2 = \frac{ab + 230a + 180b - 45100}{2}.\]

Теперь подставим значения \(a = x + 180\) и \(b = x + 230\) в это уравнение:

\[x^2 = \frac{(x + 180)(x + 230) + 230(x + 180) + 180(x + 230) - 45100}{2}.\]

Вычислим:

\[x^2 = \frac{x^2 + 410x + 41400 + 230x + 41400 + 180x + 41400 - 45100}{2}.\]

\[x^2 = \frac{x^2 + 820x + 79100}{2}.\]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[2x^2 = x^2 + 820x + 79100.\]

\[x^2 - 820x - 79100 = 0.\]

Теперь нам необходимо решить это квадратное уравнение.

Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти корни этого уравнения:

\[D = b^2 - 4ac,\]

где \(a = 1\), \(b = -820\) и \(c = -79100\).

Вычислим дискриминант:

\[D = (-820)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-79100) = 672400 + 316400 = 988800.\]

Так как дискриминант положителен, мы имеем два различных вещественных решения.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения в эту формулу:

\[x_{1,2} = \frac{-(-820) \pm \sqrt{988800}}{2 \cdot 1}.\]

\[x_{1,2} = \frac{820 \pm 994.388}{2}.\]

Получаем два значения:

\[x_1 = \frac{820 + 994.388}{2} = 907.194,\]

и

\[x_2 = \frac{820 - 994.388}{2} = -87.194.\]

Так как сторона стола не может быть отрицательной, отбрасываем значение \(x_2 = -87.194\).

Таким образом, мы получили значение длины стороны стола: \(x = 907.194\) см.

Ответ: Чтобы стол подходил для прямоугольной комнаты с указанными размерами и площадью, его сторона должна быть равна примерно \(907.194\) см.