Какую форму принимает решение неравенства X+ 11x+4/x-5 + x^2 - 19x-48/x^2 - 8x+15?

Чудесный_Король

49

Для решения данной задачи нам необходимо найти форму, которую принимает решение данного неравенства.

Начнем с приведения неравенства к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель первого слагаемого равен \(x - 5\), а знаменатель второго слагаемого равен \(x^2 - 8x + 15\). Общий знаменатель будет равен произведению данных знаменателей, то есть \((x - 5)(x^2 - 8x + 15)\).

Теперь, чтобы добавить слагаемые с общим знаменателем, нужно привести числитель каждого слагаемого к этому знаменателю. Таким образом, мы получим:

\[
\frac{{x(x - 5)(x^2 - 8x + 15) + 11x(x^2 - 8x + 15) + 4 + x^2(x - 5) - 19x(x^2 - 8x + 15) - 48}}{{(x - 5)(x^2 - 8x + 15)}}
\]

Теперь необходимо привести подобные слагаемые и упростить выражение. Выполним эти шаги:

\[
\frac{{x(x^3 - 8x^2 + 15x - 5x^2 + 40x - 75) + 11x^3 - 88x^2 + 165x + 4x^2 - 5x - 95 - 19x^3 + 152x^2 - 285x - 48}}{{(x - 5)(x^2 - 8x + 15)}}
\]

\[
\frac{{x^4 - 5x^3 + 40x^2 - 75x + 11x^3 - 88x^2 + 165x + 4x^2 - 5x - 95 - 19x^3 + 152x^2 - 285x - 48}}{{(x - 5)(x^2 - 8x + 15)}}
\]

\[
\frac{{x^4 + 6x^3 + 96x^2 - 165x - 143}}{{(x - 5)(x^2 - 8x + 15)}}
\]

Теперь, когда у нас есть приведенное выражение, мы можем перейти к решению самого неравенства. Вспомним, что неравенство будет истинным, если числитель дроби положителен и знаменатель не равен нулю.

\textbf{Решение:}

Числитель дроби равен \(x^4 + 6x^3 + 96x^2 - 165x - 143\). Чтобы найти форму решения неравенства, нам нужно анализировать знак данного многочлена.

Мы можем использовать график многочлена либо оценить знаки на интервалах. Рассмотрим интервалы между корнями многочлена:

1. Рассматривая многочлен \(x^4 + 6x^3 + 96x^2 - 165x - 143\), мы можем заметить, что он имеет два действительных корня: -3 и 1. Применяя метод проверки знака, мы найдем, что многочлен меняет знаки в следующих интервалах:

\[
(-\infty, -3);\quad (-3, 1);\quad (1, +\infty)
\]

2. Теперь учитывая знаменатель \((x - 5)(x^2 - 8x + 15)\), для него мы также можем найти корни. Заметим, что у данного многочлена есть действительные корни при \(x = 5\) и \(x = 3\) (два корня по \(x = 3\), потому что \(x^2 - 8x + 15\) разлагается на \((x - 3)(x - 5)\)). Оценка знаков многочлена:

\[
(-\infty, 3);\quad (3, 5);\quad (5, +\infty)
\]

3. Также убедимся, что знаменатель \((x - 5)(x^2 - 8x + 15)\) не равен нулю. Значит, нам необходимо исключить \(x = 5\), так как в этом случае знаменатель обращается в ноль.

Теперь, имея эти данные, мы можем построить таблицу знаков для числителя и знаменателя.

\[
\begin{array}{c|ccc}
& x^4 + 6x^3 + 96x^2 - 165x - 143 & x - 5 & x^2 - 8x + 15 \\
\hline
(-\infty, -3) & - & - & + \\
(-3, 1) & + & - & + \\
(1, +\infty) & + & + & + \\
\end{array}
\]

Используя правила знаков и таблицу выше, мы можем прийти к следующему выводу:

Форма решения неравенства будет следующей:

\[
x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)
\]

Таким образом, решение данного неравенства принимает форму интервала, где \(x\) может принимать все значения, от минус бесконечности до минус трех, и от единицы до плюс бесконечности.