Какую функцию нужно найти первообразную F(x) функции f(x) = sin3x, если F(пи

Димон

54

Для решения этой задачи мы должны найти первообразную функции \(f(x) = \sin^3(x)\). Первообразная функция (или интеграл) \(F(x)\) - это функция, производная которой равна заданной функции \(f(x)\).

Шаг 1: Найдем первообразную функции \(\sin^3(x)\).

Мы знаем, что производная функции \(\sin(x)\) равна \(\cos(x)\). Используя формулу \(\int \sin^n(x) dx = -\frac{1}{n} \cdot \cos(x) \cdot \sin^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}(x) dx\), мы можем найти первообразную \(\sin^3(x)\).

\[
\begin{align*}
\int \sin^3(x) dx &= -\frac{1}{3} \cdot \cos(x) \cdot \sin^2(x) + \frac{2}{3} \int \sin(x) dx \\
&= -\frac{1}{3} \cdot \cos(x) \cdot \sin^2(x) + \frac{2}{3} \cdot (-\cos(x)) + C \\
&= -\frac{1}{3} \cdot \cos(x) \cdot \sin^2(x) - \frac{2}{3} \cdot \cos(x) + C \\
\end{align*}
\]

Где \(C\) - произвольная постоянная.

Таким образом, первообразная функции \(f(x) = \sin^3(x)\) равна \(-\frac{1}{3} \cdot \cos(x) \cdot \sin^2(x) - \frac{2}{3} \cdot \cos(x) + C\).

Однако, мы не знаем точное значение \(x\), поэтому мы не можем вычислить точное значение первообразной функции \(F(x)\). Мы можем только предоставить общую формулу для нахождения первообразной. Если вы предоставите значение \(x\), я смогу подставить его в формулу и рассчитать конкретное значение первообразной.