Какую модель можно построить и решить для течения реки, если катер пройдет 45 км по течению и 35 км против течения

Дмитрий

31

Давайте решим данную задачу о течении реки пошагово.

Пусть скорость катера без учета течения реки равна \( v \) км/ч. Также, задана скорость течения реки, которая составляет 2 км/ч.

Первым шагом мы можем определить время, требуемое для преодоления каждого пути.

Для пути по течению, катер прошел 45 км. Мы можем использовать формулу времени \( t = \frac{d}{v} \), где \( d \) - расстояние, а \( v \) - скорость. В данном случае имеем:

\[ t_1 = \frac{45}{v + 2} \]

Аналогично, для пути против течения, катер прошел 35 км. Используя ту же формулу, получаем:

\[ t_2 = \frac{35}{v - 2} \]

Условие задачи говорит нам, что время, требуемое для пути по течению, больше времени, требуемого для пути против течения на 1,5 часа. Это можно записать следующим образом:

\[ t_1 = t_2 + 1.5 \]

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из трех уравнений:

\[ t_1 = \frac{45}{v + 2} \]

\[ t_2 = \frac{35}{v - 2} \]

\[ t_1 = t_2 + 1.5 \]

Для решения этой системы уравнений нам нужно найти значения \( v \), \( t_1 \) и \( t_2 \), которые удовлетворяют всем уравнениям.

Давайте продолжим и решим эту систему уравнений. Сначала, с помощью третьего уравнения выразим \( t_2 \) через \( t_1 \):

\[ t_2 = t_1 - 1.5 \]

Подставим выражение для \( t_2 \) во второе уравнение:

\[ t_1 - 1.5 = \frac{35}{v - 2} \]

Выразим \( v \) через \( t_1 \):

\[ v - 2 = \frac{35}{t_1 - 1.5} \]

Для удобства дальнейших вычислений, домножим обе стороны уравнения на \( t_1 - 1.5 \):

\[ v(t_1 - 1.5) - 2(t_1 - 1.5) = 35 \]

Раскроем скобки:

\[ vt_1 - 1.5v - 2t_1 + 3 = 35 \]

Сгруппируем по \( t_1 \) и \( v \):

\[ (v - 2)t_1 - 1.5v + 3 = 35 \]

Теперь подставим первое уравнение в полученное равенство:

\[ \frac{45(v - 2)}{v + 2} - 1.5v + 3 = 35 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{45v - 90}{v + 2} - 1.5v + 3 = 35 \]

Упростим:

\[ 45v - 90 - 1.5v(v + 2) + 3(v + 2) = 35(v + 2) \]

Раскроем скобки:

\[ 45v - 90 - 1.5v^2 - 3v + 3 + 35v + 70 = 35v + 70 \]

Упростим:

\[ 45v - 3v^2 - 3v + 3 + 70 = 35v + 70 \]

\[ -3v^2 + 12v + 3 = 0 \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 12^2 - 4(-3)(3) = 144 + 36 = 180 \]

Дискриминант равен 180.

Так как \( D > 0 \), у нас два корня, которые можно найти с помощью формулы:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Давайте вычислим корни. Подставим полученные значения в формулу:

\[ v = \frac{-12 \pm \sqrt{180}}{-6} \]

Упростим:

\[ v = \frac{12 \pm \sqrt{180}}{6} \]

\[ v = \frac{2(6 \pm \sqrt{5})}{6} \]

\[ v = \frac{6 \pm \sqrt{5}}{3} \]

То есть, получаем два корня: \( v_1 = \frac{6 + \sqrt{5}}{3} \) и \( v_2 = \frac{6 - \sqrt{5}}{3} \).

Получили два значения скорости катера без учета течения реки.

Пожалуйста, обратите внимание, что решение представлено в символьной форме и может быть округлено для получения десятичной или конкретной численной оценки.