Какую начальную скорость должна иметь лягушка, чтобы после прыжка оказаться на противоположном конце плавающей доски?
Какую начальную скорость должна иметь лягушка, чтобы после прыжка оказаться на противоположном конце плавающей доски? Задача: лягушка массы m сидит на конце доски массы m и длины l, которая плавает по поверхности пруда. Лягушка прыгает под углом α к горизонту вдоль доски. Течение сносит как доску, так и лягушку со скоростью u, против которого лягушка прыгает. Желательно предоставить понятное решение.
Sergeevich 68
Чтобы решить эту задачу, нам потребуется применить законы сохранения импульса и момента импульса. Давайте начнем с рассмотрения горизонтальной составляющей импульса.1. Поскольку лягушка прыгает под углом α, горизонтальная составляющая начальной скорости должна быть равна горизонтальному движению доски, иначе лягушка не достигнет противоположного конца доски.
Горизонтальная скорость лягушки \(v_x = v \cos\alpha\)
Горизонтальная скорость доски \(v_{доска} = u\)
Отсюда получаем: \(v \cos\alpha = u\) - (уравнение 1)
2. Теперь давайте рассмотрим вертикальную составляющую импульса.
Вертикальная скорость лягушки \(v_y = v \sin\alpha\)
Учитывая, что лягушка должна вернуться на доску, чтобы оказаться на противоположном конце, вертикальная составляющая начальной скорости должна быть равна вертикальному движению доски.
Вертикальная скорость доски \(v_{доска} = 0\) (так как доска движется горизонтально)
Отсюда получаем: \(v \sin\alpha = 0\) - (уравнение 2)
3. Теперь воспользуемся законом сохранения момента импульса вокруг точки, на которой расположена доска.
Исходный момент импульса лягушки и доски равен нулю, так как они покоятся на доске.
Момент импульса лягушки после прыжка будет равен моменту импульса доски.
Момент импульса лягушки \(L_{лягушка} = m v l\) (где \(l\) - расстояние от точки прыжка лягушки до оси вращения)
Момент импульса доски \(L_{доска} = m \cdot 0 \cdot \frac{l}{2}\), так как горизонтальное перемещение доски не влияет на момент импульса вокруг нее.
Отсюда получаем: \(m v l = 0\) - (уравнение 3)
4. Теперь соединим все три уравнения (1), (2) и (3).
Из уравнения (2) получаем: \(v = 0\) (ведь \(\sin\alpha\) равен нулю только при \(\alpha = 0\), что будет означать, что лягушка будет прыгать горизонтально, что противоречит условию задачи)
Таким образом, решение задачи невозможно, так как начальная скорость лягушки должна быть равна нулю при условии, что она достигает противоположного конца доски.