Какую начальную скорость имел камень при вертикальном выстреле вверх, если измерения показали, что он достигал высоты

Zagadochnyy_Kot

69

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением движения тела под действием свободного падения. Так как камень был выпущен вверх и достигал вершины дважды, мы можем разбить полный путь на две части: подъем и падение.

На подъеме камень движется против гравитации и его ускорение равно ускорению свободного падения, то есть \( a = -g \).

На падении камень движется в сторону гравитации, поэтому его ускорение равно гравитационному ускорению \( a = g \).

Расстояние, которое проходит тело за время t при начальной скорости \( v_0 \) и постоянном ускорении a, можно выразить следующей формулой:

\[ h = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

Для первого подъема расстояние равно половине общего пути \( h/2 \), а время равно половине общего времени \( t/2 \). Подставив значения в формулу и решив ее относительно \( v_0 \), получим:

\[ \frac{h}{2} = v_0 \frac{t}{2} + \frac{1}{2} (-g) \left(\frac{t}{2}\right)^2 \]

Для второго подъема расстояние также равно половине общего пути \( h/2 \), но время равно половине общего времени \( t \). Подставив значения и решив уравнение, получим:

\[ \frac{h}{2} = v_0 t + \frac{1}{2} (-g) t^2 \]

Теперь можно решить эти два уравнения относительно \( v_0 \).

Первое уравнение:

\[ \frac{h}{2} = v_0 \frac{t}{2} + \frac{1}{2} (-g) \left(\frac{t}{2}\right)^2 \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ \frac{h}{2} = \frac{v_0 t}{2} - \frac{g t^2}{8} \]

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[ \frac{h}{2} - \frac{v_0 t}{2} + \frac{g t^2}{8} = 0 \]

Второе уравнение:

\[ \frac{h}{2} = v_0 t + \frac{1}{2} (-g) t^2 \]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[ \frac{h}{2} = v_0 t - \frac{g t^2}{2} \]

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[ \frac{h}{2} - v_0 t + \frac{g t^2}{2} = 0 \]

Теперь у нас есть два уравнения, в которых мы хотим найти \( v_0 \). Мы можем решить их методом подстановки или методом избавления от неизвестных. В данном случае воспользуемся методом избавления от неизвестных и вычтем второе уравнение из первого:

\[ \left(\frac{h}{2} - \frac{v_0 t}{2} + \frac{g t^2}{8}\right) - \left(\frac{h}{2} - v_0 t + \frac{g t^2}{2}\right) = 0 \]

Сократим подобные слагаемые:

\[ -\frac{v_0 t}{2} + \frac{g t^2}{8} - v_0 t + \frac{g t^2}{2} = 0 \]

Просуммируем слагаемые:

\[ \left(-\frac{v_0 t}{2} - v_0 t\right) + \left( \frac{g t^2}{8} + \frac{g t^2}{2}\right) = 0 \]

Сократим подобные слагаемые:

\[ -\frac{3 v_0 t}{2} + \frac{5 g t^2}{8} = 0 \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( v_0 \):

\[ -\frac{3 v_0 t}{2} + \frac{5 g t^2}{8} = 0 \]

Умножим все слагаемые на 8, чтобы избавиться от дробей:

\[ -12 v_0 t + 5 g t^2 = 0 \]

Разделим обе части уравнения на \( t \):

\[ -12 v_0 + 5 g t = 0 \]

Теперь найдем \( v_0 \):

\[ 12 v_0 = 5 g t \]

\[ v_0 = \frac{5 g t}{12} \]

Подставим значения для \( g \) и \( t \):

\[ v_0 = \frac{5 \cdot 10 \cdot 6}{12} = \frac{300}{12} = 25 \, \text{м/с} \]

Чтобы перевести метры в час и округлить до целого значения, воспользуемся следующими пропорциями:

\[ 1 \, \text{м/с} = \frac{3.6 \, \text{км/ч}}{1} \]

\[ 25 \, \text{м/с} = 25 \cdot \frac{3.6 \, \text{км/ч}}{1} = 90 \, \text{км/ч} \]

Таким образом, начальная скорость камня при вертикальном выстреле вверх составляла 90 км/ч.