Какую наименьшую работу необходимо выполнить горизонтальной силой, чтобы переместить доску длиной l через шероховатую

Petrovich_1167

54

Для решения этой задачи, нам необходимо учесть два случая: когда длина доски \( l \) больше ширины области \( s \) и когда длина доски \( l \) меньше ширины области \( s \).

1) Когда \( l > s \):
В этом случае, мы можем перемещать доску, сдвигая ее через шероховатую область. Чтобы определить наименьшую работу, необходимую для перемещения доски, рассмотрим силы, действующие на неё.
- Сила трения \( F_{\text{трения}} \) будет действовать против направления движения. Максимальная сила трения \( f \) будет действовать на доску.
- Нам также понадобится горизонтальная сила \( F_{\text{горизонтальная}} \), чтобы преодолеть силу трения.

Используя основной закон Ньютона \( F = ma \), где \( F \) - сила, \( m \) - масса объекта, и \( a \) - ускорение, мы можем сформулировать следующие равенства:

\[ F_{\text{горизонтальная}} = F_{\text{трения}} \]
\[ ma_{\text{горизонтальное}} = F_{\text{трения}} \]

Однако, нам неизвестно ни масса доски \( m \), ни ускорение \( a \). Но мы можем использовать известные величины для выражения \( m \) и \( a \).

Масса \( m \) доски может быть выражена через ее плотность \( \rho \), площадь сечения \( A \) и длину \( l \):

\[ m = \rho \cdot A \cdot l \]

Ускорение \( a \), которое мы ищем, зависит от силы, которую нужно приложить для перемещения доски. Используя закон Ньютона для вертикального движения, где \( g \) - ускорение свободного падения:

\[ mg = f \]

Теперь мы можем выразить \( m \) через \( f \) и \( g \):

\[ m = \frac{f}{g} \]

Подставляя выражение для \( m \) в первое равенство, получим:

\[ \rho \cdot A \cdot l \cdot a_{\text{горизонтальное}} = f \]

Теперь мы можем выразить \( a_{\text{горизонтальное}} \) через \( f \), \( \rho \), \( l \) и \( A \):

\[ a_{\text{горизонтальное}} = \frac{f}{\rho \cdot A \cdot l} \]

Поскольку работа \( W \) определяется как произведение силы и перемещения, где \( d \) - расстояние перемещения, мы можем записать:

\[ W = F_{\text{горизонтальная}} \cdot d \]

Здесь \( d = l \).

Подставляя выражение для \( F_{\text{горизонтальная}} \) и \( d \), получим:

\[ W = \frac{f}{\rho \cdot A \cdot l} \cdot l \]

Сокращая \( l \), получим:

\[ W = \frac{f}{\rho \cdot A} \]

Итак, наименьшая работа, необходимая для перемещения доски в горизонтальном направлении, когда \( l > s \), равна \( \frac{f}{\rho \cdot A} \).

2) Когда \( l < s \):
В этом случае, длина доски меньше ширины области, поэтому единственным способом перемещения доски будет ее поднятие и перенос через шероховатую область. Учитывая, что доска двигается по гладкой поверхности пола и сила трения играет роль только для перемещения в горизонтальном направлении, можно сказать, что работа, необходимая для поднятия и переноса доски, не зависит от силы трения.

Для поднятия доски нам понадобится сила, равная ее весу.
Вес \( F_{\text{вес}} \) объекта можно выразить через его массу \( m \) и ускорение свободного падения \( g \):

\[ F_{\text{вес}} = mg \]

Масса \( m \) доски может быть выражена через ее плотность \( \rho \), площадь сечения \( A \) и длину \( l \):

\[ m = \rho \cdot A \cdot l \]

Теперь мы можем выразить \( F_{\text{вес}} \) через \( \rho \), \( A \) и \( l \):

\[ F_{\text{вес}} = \rho \cdot A \cdot l \cdot g \]

Поскольку работа \( W \) определяется как произведение силы и перемещения, нам также нужно учесть расстояние подъема \( h \):

\[ W = F_{\text{вес}} \cdot h \]

Но так как мы не знаем точное значение \( h \), мы можем просто сказать, что наименьшая работа, необходимая для поднятия и переноса доски в случае \( l < s \), равна \( F_{\text{вес}} \cdot h \).

Таким образом, мы рассмотрели два случая и получили:
- При \( l > s \) наименьшая работа равна \( \frac{f}{\rho \cdot A} \)
- При \( l < s \) наименьшая работа равна \( F_{\text{вес}} \cdot h \), где \( F_{\text{вес}} = \rho \cdot A \cdot l \cdot g \)