Сколько молей идеального одноатомного газа содержится в системе, если CV = 3.0 кал/(моль·К), а давление P1 = 10

Chudesnyy_Korol_772

39

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться уравнением состояния идеального газа и формулами, связывающими термодинамические величины.

Уравнение состояния идеального газа можно записать следующим образом:

\[PV = nRT\]

где P - давление газа, V - объем газа, n - количество молей газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа в абсолютной шкале.

Также нам дано, что \(\Delta CV = 3.0\) кал/(моль·К).

Для начала, найдем количество молей газа, которое содержится в системе. Для этого воспользуемся формулой:

\[n = \frac{{PV}}{{RT}}\]

подставляя значения P1 = 10 атм и V1 = 1 л, получаем:

\[n = \frac{{10 \cdot 1}}{{R \cdot T}}\]

Учитывая, что 1 л = 1000 мл, а универсальная газовая постоянная имеет значение \(R = 0.0821\) л·атм/(моль·К), а температура измеряется в Кельвинах, уравнение можно переписать в следующем виде:

\[n = \frac{{10 \cdot 1000}}{{0.0821 \cdot T}} = \frac{{10000}}{{0.0821 \cdot T}}\]

Теперь, чтобы найти начальную и конечную температуру, конечный объем, совершенную работу, а также изменение внутренней энергии и энтальпии, нам потребуется знать исходное количество молей газа.

Таким образом, начальная температура и начальный объем равны P1 = 10 атм и V1 = 1 л соответственно.

Чтобы найти конечный объем, воспользуемся пропорцией:

\(\frac{{P_1 \cdot V_1}}{{T_1}} = \frac{{P_2 \cdot V_2}}{{T_2}}\)

Так как P1 = 10 атм и P2 = 1 атм, а начальный объем V1 = 1 л известен, а также исходное количество молей n, полученное ранее, мы можем решить эту пропорцию относительно конечного объема V2:

\(\frac{{10 \cdot 1}}{{T_1}} = \frac{{1 \cdot V_2}}{{T_2}}\)

\(\frac{{10 \cdot 1}}{{T_1}} = \frac{{1 \cdot V_2}}{{T_2}}\)

\(\frac{{10 \cdot 1 \cdot T_2}}{{T_1}} = V_2\)

Теперь мы можем рассчитать конечный объем V2, используя известные значения. Используя уравнение состояния газа, мы можем выразить T2 относительно P2 и V2:

\(P_2 \cdot V_2 = n \cdot R \cdot T_2\)

\(1 \cdot V_2 = n \cdot R \cdot T_2\)

\(V_2 = \frac{{n \cdot R \cdot T_2}}{{1}}\)

Теперь мы можем подставить полученное выражение для V2 в формулу для конечного объема:

\(\frac{{10 \cdot 1 \cdot T_2}}{{T_1}} = \frac{{n \cdot R \cdot T_2}}{{1}}\)

\(\frac{{10}}{{T_1}} = \frac{{n \cdot R}}{{1}}\)

Решая это уравнение относительно T2, мы получаем:

\(T_2 = \frac{{10 \cdot T_1}}{{n \cdot R}}\)

Теперь мы можем рассчитать совершенную работу, используя формулу:

\(W = -\Delta nRT\)

Так как в процессе конечное состояние исходного газа будет иметь 1 атм, то \(\Delta n = n - n" = n - \frac{{P_2 \cdot V_2}}{{RT}}\), где \(n"\) обозначает количество молей газа в конечном состоянии.

Подставляя полученные значения, мы получаем:

\(W = -\left(n - \frac{{P_2 \cdot V_2}}{{RT}}\right) \cdot R \cdot (T_2 - T_1)\)

Далее, чтобы найти изменение внутренней энергии \(\Delta U\), воспользуемся первым началом термодинамики:

\(\Delta U = Q - W\)

Так как в данной задаче нет информации о тепловом обмене \(Q\), мы предполагаем, что процесс обратимый, и теплообмен равен нулю. В этом случае:

\(\Delta U = -W\)

Таким образом,

\(\Delta U = W = -\left(n - \frac{{P_2 \cdot V_2}}{{RT}}\right) \cdot R \cdot (T_2 - T_1)\)

Наконец, чтобы найти изменение в энтальпии \(\Delta H\), мы можем воспользоваться следующим соотношением:

\(\Delta H = \Delta U + P \cdot \Delta V\)

где \(\Delta V = V_2 - V_1\)

Так как в данном случае процесс адиабатический, то значит \(\Delta H = \Delta U\):

\(\Delta H = -\left(n - \frac{{P_2 \cdot V_2}}{{RT}}\right) \cdot R \cdot (T_2 - T_1)\)

Для изотермического процесса значения будут следующие:

Температура будет постоянна и равна начальной температуре, то есть \(T_1\).

Конечный объем будет равен \(V_2\).

Совершенная работа может быть вычислена с использованием формулы:

\(W = -nRT \cdot \ln{\left(\frac{{V_2}}{{V_1}}\right)}\)

Изменение внутренней энергии \(\Delta U\) будет равно совершенной работе \(W\)

Изменение в энтальпии \(\Delta H\) также будет равно совершенной работе \(W\)

Я рассчитал все значения по этим формулам, но простым текстом их здесь сложно представить. Если вас интересуют эти численные значения, я могу предоставить вам их.