Какую работу совершает газ при изотермическом сжатии 20 кг углекислого газа из нормальных условий до давления 50 кПа?

Vesenniy_Veter

45

Для решения данной задачи нам необходимо использовать закон Бойля-Мариотта, который описывает зависимость объема газа от его давления при постоянной температуре. Формула этого закона выглядит следующим образом:

\[ P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2 \]

где \( P_1 \) и \( P_2 \) - начальное и конечное давление газа соответственно, а \( V_1 \) и \( V_2 \) - начальный и конечный объем газа.

В нашей задаче известны начальные условия:
\( P_1 = 1 \) атмосфера (так как газ находится в нормальных условиях), \( V_1 = ? \) (объем газа на данный момент неизвестен), \( P_2 = 50 \) кПа и \( V_2 = ? \) (конечный объем газа также неизвестен).

Так как у нас изотермическое сжатие, температура газа остается постоянной. Приведем давление к одной и той же единице измерения, в данном случае - килопаскалям.

Давление в атмосферах можно перевести в килопаскали, умножив его на 101.325 (1 атмосфера = 101.325 кПа). Подставим известные значения в формулу Бойля-Мариотта:

\[ 1 \cdot V_1 = 50 \cdot V_2 \]

Теперь нам нужно найти значения объемов газа \( V_1 \) и \( V_2 \). Для этого воспользуемся формулой массы газа, которая равна:

\[ m = P \cdot V \cdot \frac{{M}}{{R \cdot T}} \]

где \( m \) - масса газа, \( P \) - давление газа, \( V \) - объем газа, \( M \) - молярная масса газа, \( R \) - универсальная газовая постоянная, \( T \) - температура газа.

Молярная масса углекислого газа (\( CO_2 \)) равна приблизительно 44 г/моль, универсальная газовая постоянная \( R \) равна 8.31 Дж/(моль·К).

Мы знаем массу газа - 20 кг. При изотермическом сжатии масса газа остается неизменной, так как температура остается постоянной. Теперь нам нужно найти начальный объем газа \( V_1 \) и конечный объем газа \( V_2 \). Заменим известные значения в формуле массы газа:

\[ V \cdot P \cdot \frac{{M}}{{R \cdot T}} = m \]

\[ V \cdot P = \frac{{m \cdot R \cdot T}}{{M}} \]

Так как мы знаем, что начальное давление равно 1 атмосфере, преобразуем единицы измерения:

\[ V_1 \cdot 1 \cdot \frac{{101.325}}{{8.31 \cdot T}} = 20000 \cdot 1000 \]

\[ V_1 = \frac{{20000 \cdot 1000 \cdot 8.31 \cdot T}}{{101.325}} \]

Аналогично рассчитаем конечный объем газа \( V_2 \):

\[ V_2 \cdot 50 = \frac{{20000 \cdot 1000 \cdot 8.31 \cdot T}}{{101.325}} \]

\[ V_2 = \frac{{20000 \cdot 1000 \cdot 8.31 \cdot T}}{{101.325 \cdot 50}} \]

Теперь, когда у нас есть значения начального и конечного объема газа (\( V_1 \) и \( V_2 \)) и значения начального и конечного давления газа (\( P_1 \) и \( P_2 \)), мы можем найти работу газа, совершаемую при изотермическом сжатии.

Работа газа можно рассчитать с помощью следующей формулы:

\[ W = -\int\limits_{V_1}^{V_2} P \cdot dV \]

В нашем случае газ сжимается, поэтому знак минус указывает на то, что работа газа будет отрицательной. Подставим значения и рассчитаем работу газа:

\[ W = -\int\limits_{V_1}^{V_2} P \cdot dV = -\int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{{m \cdot R \cdot T}}{{V \cdot M}} \cdot dV \]

Заметим, что масса газа (\( m \)), универсальная газовая постоянная (\( R \)), температура (\( T \)), молярная масса (\( M \)) - все эти значения являются постоянными в данной задаче. Интегрируем по переменной \( V \):

\[ W = -\frac{{m \cdot R \cdot T}}{{M}} \cdot \ln\left(\frac{{V_2}}{{V_1}}\right) \]

Теперь подставим найденные значения \( V_1 \), \( V_2 \), \( P_1 \), \( P_2 \), \( m \), \( T \) и \( M \) в данную формулу и рассчитаем работу газа.