Какую разность должна иметь арифметическая прогрессия, чтобы получить наименьшее значение произведения 3-го и 5-го

Ягодка

53

Для решения этой задачи, давайте первым делом определим формулу для общего члена арифметической прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии можно определить следующей формулой:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
где \(a_n\) - n-й член прогрессии,
\(a_1\) - первый член прогрессии,
\(n\) - номер члена прогрессии,
\(d\) - разность прогрессии.

Теперь рассмотрим условия задачи. Если мы утраиваем второй член (\(a_2\)) и добавляем четвертый член (\(a_4\)), получим выражение:
\(3a_2 + a_4\)

Поэтому, наше выражение для произведения 3-го (\(a_3\)) и 5-го (\(a_5\)) членов будет следующим:
\(P = a_3 \cdot a_5 = (a_1 + 2d)(a_1 + 4d)\)

Мы хотим найти разность (\(d\)), которая даст наименьшее значение для произведения \(P\). Для этого нам нужно раскрыть выражение \(P\) и найти его минимальное значение.

\[P = (a_1 + 2d)(a_1 + 4d) = a_1^2 + 6a_1d + 8d^2\]

Теперь мы можем найти производную этого выражения и приравнять ее к нулю, чтобы найти минимум. Для этого нужно взять производную по \(d\) и приравнять ее к нулю:

\[\frac{dP}{dd} = 6a_1 + 16d = 0\]

Теперь найдем значение \(d\):

\[16d = -6a_1\]
\[d = \frac{-6a_1}{16}\]
\[d = -\frac{3a_1}{8}\]

Таким образом, разность должна быть равна \(-\frac{3a_1}{8}\), чтобы получить наименьшее значение произведения третьего и пятого членов арифметической прогрессии.

Понимаешь ли ты приведенное решение?