Какую скорость будет иметь мяч через 5 секунд после старта, если его масса составляет 500 г и в результате столкновения

Letuchiy_Volk

33

Для того чтобы определить скорость мяча через 5 секунд после старта, нам необходимо воспользоваться законом сохранения энергии.

Первым шагом определим начальную кинетическую энергию мяча (Э1). Начальная кинетическая энергия выражается через массу (m) и начальную скорость (v0) следующим образом:

\[ Э1 = \frac{1}{2} m v0^2 \]

Поскольку на старте мяч не движется, его начальная скорость будет равна нулю.

Следующим шагом определим конечную кинетическую энергию мяча (Э2) после 5 секунд. Конечная кинетическая энергия также выражается через массу (m) и конечную скорость (v) следующим образом:

\[ Э2 = \frac{1}{2} m v^2 \]

Теперь введём силу трения (F), которая действует на мяч в результате столкновения со стенками трубы. Сила трения определяется как произведение коэффициента трения (μ) и нормальной силы (N). В данной задаче нормальная сила неизвестна, однако мы можем заметить, что сила трения приложена в горизонтальном направлении и направлена противоположно движению мяча. Таким образом, мы можем сказать, что сила трения (F) равна:

\[ F = - \mu N \]

Гораздо более важно понять, что сила трения эквивалентна изменению кинетической энергии мяча. Таким образом, \(\Delta Э\) равно \(F \cdot d\), где \(d\) - это пройденное расстояние.

Теперь вернёмся к нашей задаче. У нас есть начальная и конечная кинетическая энергия мяча, а также сила трения, действующая на мяч. Мы можем записать уравнение, используя закон сохранения энергии:

\[ Э1 + \Delta Э = Э2 \]

Так как начальная скорость равна 0, начальная кинетическая энергия мяча упрощается до нуля:

\[ \Delta Э = Э2 \]

Теперь вспомним, что \(\Delta Э\) равно \(F \cdot d\). Поскольку нам дано, что сила трения действует на мяч в результате столкновения со стенками трубы, она будет равна силе трения \(F\) умноженной на длину трубы \(d\):

\[ F \cdot d = Э2 \]

Подставим значение \(F = - \mu N\):

\[ (- \mu N) \cdot d = Э2 \]

Теперь рассмотрим, что мы можем сделать с нормальной силой (N). Поскольку мяч находится в состоянии покоя, нормальная сила будет считаться равной силе тяжести мяча \(mg\), где \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с^2). Таким образом, мы можем заменить \(N\) на \(mg\) в уравнении:

\[ (- \mu mg) \cdot d = Э2 \]

Теперь мы готовы решить задачу, поскольку нам известны все значения, кроме конечной скорости (v) и длины трубы (d). Давайте воспользуемся законом сохранения энергии для нахождения конечной скорости (v) мяча.

В законе сохранения энергии, начальная кинетическая энергия мяча равна нулю, и мы ищем конечную скорость (v). Таким образом, уравнение примет вид:

\[ 0 + (- \mu mg) \cdot d = \frac{1}{2} m v^2 \]

Разрешим уравнение относительно \(v\):

\[ v^2 = \frac{-2 \mu mgd}{m} \]

\[ v = \sqrt{\frac{-2 \mu mgd}{m}} \]

Теперь мы можем рассчитать скорость мяча через 5 секунд после старта, подставив известные значения:

\[ v = \sqrt{\frac{-2 \cdot \mu \cdot 0.5 \cdot 9.8 \cdot d}{0.5}} \]

\[ v = \sqrt{-19.6 \mu d} \]

Обратите внимание, что мы заменили массу мяча на 0.5 кг, ускорение свободного падения на 9.8 м/с^2 и коэффициент трения (μ) в уравнении на \( \mu \).

Итак, ответ на задачу будет иметь вид:

Мяч будет иметь скорость \( v = \sqrt{-19.6 \mu d} \) через 5 секунд после старта.