Найдите соотношение массы данной планеты к массе Земли, при условии, что ускорение свободного падения на этой планете

Загадочный_Эльф

28

Хорошо, чтобы найти соотношение массы данной планеты к массе Земли, мы можем использовать формулу для ускорения свободного падения:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Где:
- \(F\) - сила притяжения между двумя объектами
- \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\))
- \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух объектов
- \(r\) - расстояние между центрами масс двух объектов

У нас есть два объекта: планета и Земля. Пусть \(m\) будет массой планеты и \(M\) - массой Земли. Мы знаем, что ускорение свободного падения \(g\) одинаково на обеих планетах.

На Земле ускорение свободного падения обозначается как \(g_{\text{Земли}}\) и равно примерно \(9.8 \, \text{м/с}^2\), а ускорение свободного падения на данной планете обозначим как \(g_{\text{планеты}}\).

Мы можем записать следующее соотношение:

\[g_{\text{Земли}} = \frac{{G \cdot M}}{{r_{\text{Земли}}^2}}\]
\[g_{\text{планеты}} = \frac{{G \cdot m}}{{r_{\text{планеты}}^2}}\]

Мы знаем, что радиус планеты в 4 раза меньше радиуса Земли (\(r_{\text{планеты}} = \frac{1}{4} \cdot r_{\text{Земли}}\)).
Из условия задачи также следует, что \(g_{\text{Земли}} = g_{\text{планеты}}\). Подставим все известные значения в уравнения:

\[\frac{{G \cdot M}}{{r_{\text{Земли}}^2}} = \frac{{G \cdot m}}{{\left(\frac{1}{4} \cdot r_{\text{Земли}}\right)^2}}\]

Сокращаем на \(G\), и после упрощения получаем:

\[\frac{{M}}{{r_{\text{Земли}}^2}} = \frac{{m}}{{\left(\frac{1}{4} \cdot r_{\text{Земли}}\right)^2}}\]

Далее раскроем квадраты и упростим выражение:

\[\frac{{M}}{{r_{\text{Земли}}^2}} = \frac{{m}}{{\frac{1}{16} \cdot r_{\text{Земли}}^2}}\]

Мы можем избавиться от знаменателя и упростить выражение, умножив обе части на \(r_{\text{Земли}}^2\):

\[M = \frac{{m}}{{\frac{1}{16}}}\]
\[M = 16 \cdot m\]

Таким образом, соотношение массы данной планеты к массе Земли равно 16:1. Масса планеты в 16 раз больше, чем масса Земли.