Какую скорость необходимо иметь в горизонтальном направлении у тела, находящегося около поверхности Земли, чтобы

Змея

48

Чтобы тело могло двигаться по круговой орбите вокруг Земли, необходимо учесть силу притяжения Земли и центростремительную силу, которая направлена внутрь орбиты и требуется для того, чтобы тело двигалось вокруг Земли.

Сначала рассмотрим, какую скорость необходимо иметь в горизонтальном направлении, чтобы находящееся около поверхности Земли тело не падало обратно на Землю. При решении этой задачи используется принцип сохранения механической энергии. Потенциальная энергия тела на высоте \(h\) равна \(mgh\), где \(m\) - масса тела, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота над поверхностью Земли.

Кинетическая энергия тела, двигающегося по горизонтальной орбите, равна \(\frac{1}{2}mv^2\), где \(v\) - скорость тела. Получаем уравнение:

\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]

Сокращая массу \(m\) и решая уравнение для скорости \(v\), получаем:

\[v = \sqrt{2gh}\]

Теперь рассмотрим, какая скорость необходима для движения по круговой орбите. Центростремительная сила, которая направлена внутрь орбиты, равна \(\frac{mv^2}{r}\), где \(r\) - радиус орбиты.

Центростремительная сила также связана с силой притяжения Земли \(F = \frac{GMm}{r^2}\), где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса Земли. Равенство силы притяжения и центростремительной силы позволяет нам найти связь между скоростью \(v\) и радиусом орбиты \(r\):

\[\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}\]

Сокращая массу, решаем уравнение относительно скорости \(v\):

\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\]

Таким образом, чтобы тело могло двигаться по круговой орбите, необходимо иметь скорость \(v\), равную \(\sqrt{\frac{GM}{r}}\).

Возвращаясь к исходной задаче, чтобы определить скорость для орбиты вокруг Земли, используем \(\frac{GM}{r}\) для Земли. Масса Земли \(M\) составляет примерно \(5,97 \times 10^{24}\) кг, а радиус Земли \(r\) составляет примерно \(6,37 \times 10^6\) м.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

\[v = \sqrt{\frac{6,67 \times 10^{-11} \cdot 5,97 \times 10^{24}}{6,37 \times 10^6}}\]

Вычисляя данное выражение, получаем значение скорости, округленное до ближайшего целого:

а) Приблизительно 16 км/с.

Таким образом, чтобы тело могло двигаться по круговой орбите вокруг Земли, необходимо иметь скорость приблизительно 16 км/с.