Какую сумму Тарас взял в долг у своего приятеля, если он заплатил 3000 в ноябре, а каждый месяц, начиная с октября

Шмель

2

Давайте рассмотрим задачу пошагово.

Шаг 1: В самом начале задачи Тарас заплатил 3000 рублей в ноябре. Давайте обозначим эту сумму как Х.
$$X=3000$$

Шаг 2: Теперь нам нужно выяснить, какую сумму Тарас взял в долг. Пусть сумма долга будет обозначена буквой Y.

Шаг 3: Мы знаем, что каждый месяц Тарас выплачивает 25% от оставшейся суммы долга. Это означает, что каждый месяц остается 75% от предыдущего остатка суммы долга.

Шаг 4: Выпишем формулу для расчета оставшейся суммы долга каждый месяц. Пусть Z обозначает оставшуюся сумму долга после выполнения выплаты.
$$Z=0,75\cdot Y$$

Шаг 5: Тарас начал выплачивать долгы с октября. Это значит, что в ноябре оставалось 75% от суммы долга после октября, в декабре - 75% от суммы долга после ноября и так далее.

Шаг 6: Найдем оставшуюся сумму долга после каждого месяца. Нам известно, что в ноябре оставалось 3000 рублей, поэтому:
$$Z_{\text{ноябрь}}=3000$$

Шаг 7: Теперь можем выразить оставшуюся сумму долга после каждого месяца в виде последовательности:
$$Z_{\text{ноябрь}}=0,75\cdot Y_{\text{октябрь}}=3000$$
$$Z_{\text{декабрь}}=0,75\cdot Y_{\text{ноябрь}}$$
$$Z_{\text{январь}}=0,75\cdot Y_{\text{декабрь}}$$
и так далее.

Шаг 8: Возвращаясь к начальным условиям, можем сказать, что в октябре оставалась вся сумма долга, то есть:
$$Y_{\text{октябрь}}=Y$$

Шаг 9: Теперь мы должны связать все уравнения вместе, чтобы найти сумму долга. Распишем уравнения после вышеописанных шагов:
$$Z_{\text{декабрь}}=0,75\cdot Y_{\text{ноябрь}}=0,75\cdot (0,75\cdot Y_{\text{октябрь}})$$
$$Z_{\text{январь}}=0,75\cdot Y_{\text{декабрь}}=0,75\cdot (0,75\cdot (0,75\cdot Y_{\text{октябрь}}))$$
и так далее.

Шаг 10: Теперь заменим значения $Z_{\text{ноябрь}}$ и $Z_{\text{декабрь}}$ на 3000:
$$Z_{\text{декабрь}}=0,75\cdot Y_{\text{ноябрь}}=0,75\cdot 3000$$
$$Z_{\text{январь}}=0,75\cdot Y_{\text{декабрь}}=0,75\cdot (0,75\cdot 3000)$$
и так далее.

Шаг 11: Продолжим замену значений и упростим уравнения:
$$Z_{\text{декабрь}}=0,75\cdot Y_{\text{ноябрь}}=0,75\cdot 3000$$
$$Z_{\text{январь}}=0,75\cdot Y_{\text{декабрь}}=0,75\cdot (0,75\cdot 3000)=0,{75}^2\cdot 3000$$
$$Z_{\text{февраль}}=0,75\cdot Y_{\text{январь}}=0,75\cdot (0,{75}^2\cdot 3000)=0,{75}^3\cdot 3000$$
и так далее.

Шаг 12: Мы видим, что каждый последующий месяц добавляется множитель $0,75$ перед предыдущим результирующим значением. Таким образом, мы можем записать общую формулу для вычисления оставшейся суммы долга в любом месяце:
$$Z_k=0,{75}^k\cdot 3000$$

где $k$ - количество месяцев после октября.

Шаг 13: Теперь у нас есть обобщенное выражение для оставшейся суммы долга. Мы также знаем, что после выплаты долга в ноябре оставалась сумма 3000 рублей. Соединим все фрагменты вместе, чтобы найти искомую сумму долга:

$$3000=Z_{\text{ноябрь}}=0,{75}^{\text{количество месяцев после октября}}\cdot 3000$$

Шаг 14: Чтобы найти количество месяцев после октября, нужно решить уравнение:
$$1=0,{75}^{\text{количество месяцев после октября}}$$

Шаг 15: Чтобы решить это уравнение, возьмем логарифм от обеих сторон:
$$\log (1)=\log (0,{75}^{\text{количество месяцев после октября}})$$

Шаг 16: Свойство логарифма позволяет перенести показатель степени перед логарифмом:
$$\log (1)=\text{количество месяцев после октября}\cdot \log (0,75)$$

Шаг 17: Значение логарифма от 1 равно 0, поэтому уравнение упрощается:
$$0=\text{количество месяцев после октября}\cdot \log (0,75)$$

Шаг 18: Разделим обе стороны уравнения на $\log (0,75)$, чтобы найти количество месяцев после октября:
$$\text{количество месяцев после октября}=\frac{0}{\log (0,75)}$$

Шаг 19: Значение нуля в числителе дает нам искомый результат:
$$\text{количество месяцев после октября}=0$$

Шаг 20: Таким образом, мы приходим к заключению, что количество месяцев после октября равно нулю. Это означает, что Тарас не платил никакую сумму после октября. Следовательно, сумма, которую он взял в долг, равна сумме, которую он заплатил в ноябре, то есть 3000 рублей.

Итак, Тарас взял в долг 3000 рублей у своего приятеля.