Какую сумму Тарас взял в долг у своего приятеля, если он заплатил 3000 в ноябре, а каждый месяц, начиная с октября

Шмель

2

Давайте рассмотрим задачу пошагово.

Шаг 1: В самом начале задачи Тарас заплатил 3000 рублей в ноябре. Давайте обозначим эту сумму как Х.
\[X = 3000\]

Шаг 2: Теперь нам нужно выяснить, какую сумму Тарас взял в долг. Пусть сумма долга будет обозначена буквой Y.

Шаг 3: Мы знаем, что каждый месяц Тарас выплачивает 25% от оставшейся суммы долга. Это означает, что каждый месяц остается 75% от предыдущего остатка суммы долга.

Шаг 4: Выпишем формулу для расчета оставшейся суммы долга каждый месяц. Пусть Z обозначает оставшуюся сумму долга после выполнения выплаты.
\[Z = 0,75 \cdot Y\]

Шаг 5: Тарас начал выплачивать долгы с октября. Это значит, что в ноябре оставалось 75% от суммы долга после октября, в декабре - 75% от суммы долга после ноября и так далее.

Шаг 6: Найдем оставшуюся сумму долга после каждого месяца. Нам известно, что в ноябре оставалось 3000 рублей, поэтому:
\[Z_{\text{ноябрь}} = 3000\]

Шаг 7: Теперь можем выразить оставшуюся сумму долга после каждого месяца в виде последовательности:
\[Z_{\text{ноябрь}} = 0,75 \cdot Y_{\text{октябрь}} = 3000\]
\[Z_{\text{декабрь}} = 0,75 \cdot Y_{\text{ноябрь}}\]
\[Z_{\text{январь}} = 0,75 \cdot Y_{\text{декабрь}}\]
и так далее.

Шаг 8: Возвращаясь к начальным условиям, можем сказать, что в октябре оставалась вся сумма долга, то есть:
\[Y_{\text{октябрь}} = Y\]

Шаг 9: Теперь мы должны связать все уравнения вместе, чтобы найти сумму долга. Распишем уравнения после вышеописанных шагов:
\[Z_{\text{декабрь}} = 0,75 \cdot Y_{\text{ноябрь}} = 0,75 \cdot (0,75 \cdot Y_{\text{октябрь}})\]
\[Z_{\text{январь}} = 0,75 \cdot Y_{\text{декабрь}} = 0,75 \cdot (0,75 \cdot (0,75 \cdot Y_{\text{октябрь}}))\]
и так далее.

Шаг 10: Теперь заменим значения \(Z_{\text{ноябрь}}\) и \(Z_{\text{декабрь}}\) на 3000:
\[Z_{\text{декабрь}} = 0,75 \cdot Y_{\text{ноябрь}} = 0,75 \cdot 3000\]
\[Z_{\text{январь}} = 0,75 \cdot Y_{\text{декабрь}} = 0,75 \cdot (0,75 \cdot 3000)\]
и так далее.

Шаг 11: Продолжим замену значений и упростим уравнения:
\[Z_{\text{декабрь}} = 0,75 \cdot Y_{\text{ноябрь}} = 0,75 \cdot 3000\]
\[Z_{\text{январь}} = 0,75 \cdot Y_{\text{декабрь}} = 0,75 \cdot (0,75 \cdot 3000) = 0,75^2 \cdot 3000\]
\[Z_{\text{февраль}} = 0,75 \cdot Y_{\text{январь}} = 0,75 \cdot (0,75^2 \cdot 3000) = 0,75^3 \cdot 3000\]
и так далее.

Шаг 12: Мы видим, что каждый последующий месяц добавляется множитель \(0,75\) перед предыдущим результирующим значением. Таким образом, мы можем записать общую формулу для вычисления оставшейся суммы долга в любом месяце:
\[Z_{k} = 0,75^k \cdot 3000\]

где \(k\) - количество месяцев после октября.

Шаг 13: Теперь у нас есть обобщенное выражение для оставшейся суммы долга. Мы также знаем, что после выплаты долга в ноябре оставалась сумма 3000 рублей. Соединим все фрагменты вместе, чтобы найти искомую сумму долга:

\[3000 = Z_{\text{ноябрь}} = 0,75^{\text{количество месяцев после октября}} \cdot 3000\]

Шаг 14: Чтобы найти количество месяцев после октября, нужно решить уравнение:
\[1 = 0,75^{\text{количество месяцев после октября}}\]

Шаг 15: Чтобы решить это уравнение, возьмем логарифм от обеих сторон:
\[\log(1) = \log(0,75^{\text{количество месяцев после октября}})\]

Шаг 16: Свойство логарифма позволяет перенести показатель степени перед логарифмом:
\[\log(1) = \text{количество месяцев после октября} \cdot \log(0,75)\]

Шаг 17: Значение логарифма от 1 равно 0, поэтому уравнение упрощается:
\[0 = \text{количество месяцев после октября} \cdot \log(0,75)\]

Шаг 18: Разделим обе стороны уравнения на \(\log(0,75)\), чтобы найти количество месяцев после октября:
\[\text{количество месяцев после октября} = \frac{0}{\log(0,75)}\]

Шаг 19: Значение нуля в числителе дает нам искомый результат:
\[\text{количество месяцев после октября} = 0\]

Шаг 20: Таким образом, мы приходим к заключению, что количество месяцев после октября равно нулю. Это означает, что Тарас не платил никакую сумму после октября. Следовательно, сумма, которую он взял в долг, равна сумме, которую он заплатил в ноябре, то есть 3000 рублей.

Итак, Тарас взял в долг 3000 рублей у своего приятеля.