Какую высоту должна иметь правильная четырехугольная пирамида, чтобы боковая поверхность пирамиды имела площадь

Sverkayuschiy_Dzhentlmen_3362

38

Для решения этой задачи нам понадобится знание формулы площади боковой поверхности пирамиды и формулы для площади основания.

Пусть сторона основания четырехугольной пирамиды равна \(a\), а высота пирамиды равна \(h\).

Формула для площади боковой поверхности пирамиды:

\[
S_{\text{бок}} = \frac{a \cdot p}{2}
\]

где \(p\) - периметр основания пирамиды.

В нашем случае у нас прямоугольник, поэтому периметр можно найти, сложив все его стороны:

\[
p = 2a + 2b
\]

где \(b\) - другая сторона прямоугольника.

По условию задачи боковая поверхность пирамиды имеет площадь 60 см², следовательно:

\[
S_{\text{бок}} = 60 \, \text{см}^2
\]

Подставим значения в формулу площади боковой поверхности:

\[
60 = \frac{a \cdot (2a + 2b)}{2}
\]

Упростим выражение:

\[
60 = a \cdot (a + b)
\]

Теперь нам нужно использовать информацию о том, что дана правильная четырехугольная пирамида. В правильной пирамиде все боковые ребра равны между собой. Это означает, что \(a = b\).

Теперь мы можем заменить \(b\) на \(a\) в нашем уравнении:

\[
60 = a \cdot (a + a) = 2a^2
\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[
30 = a^2
\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей:

\[
\sqrt{30} = a
\]

Таким образом, сторона основания пирамиды равна \(\sqrt{30}\) см.

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, нужно подставить значение стороны основания в формулу для площади боковой поверхности пирамиды и решить уравнение относительно \(h\).

Запишем формулу:

\[
60 = \frac{(\sqrt{30}) \cdot (2 \cdot \sqrt{30} + 2h)}{2}
\]

Упростим выражение:

\[
60 = (\sqrt{30}) \cdot (\sqrt{30} + h)
\]

Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{30}\):

\[
2 = \sqrt{30} + h
\]

Вычтем \(\sqrt{30}\) из обеих частей уравнения:

\[
h = 2 - \sqrt{30}
\]

Таким образом, высота правильной четырехугольной пирамиды должна быть равна \(2 - \sqrt{30}\) см.