Какую жесткость следует выбрать для пружины маятника, чтобы груз той же массы колебался в вертикальной плоскости

Шустрик

9

Для решения данной задачи нам понадобится знание закона Гука для пружин и формулы для периода колебаний маятника.

Первым шагом нам необходимо определить, как связаны частоты колебаний и жесткости пружины. Закон Гука гласит, что сила, действующая на пружину, пропорциональна величине ее деформации. Математически это можно записать следующим образом:

\[F = -kx\]

где \(F\) - сила, действующая на пружину, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - деформация пружины.

Также, известно, что период колебаний маятника (время, за которое маятник совершает полный цикл колебаний) можно определить по формуле:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\]

где \(T\) - период колебаний маятника, \(\pi\) - математическая константа (приближенно равная 3.14), \(m\) - масса груза, \(k\) - жесткость пружины.

Из условия задачи известно, что частота колебаний при изменении жесткости пружины должна стать в 10 раз больше. Частота колебаний связана с периодом следующим образом:

\[f = \frac{1}{T}\]

где \(f\) - частота колебаний, \(T\) - период колебаний.

Решим задачу шаг за шагом:

Шаг 1:
Если мы хотим увеличить частоту колебаний в 10 раз, значит период колебаний должен стать в 10 раз меньше.

\[T_{\text{новый}} = \frac{1}{10}T_{\text{старый}}\]

Шаг 2:
Подставим формулу для периода колебаний и произведем замену:

\[\frac{1}{10}T_{\text{старый}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{новый}}}}\]

Шаг 3:
Теперь нам нужно ввести величину параметра жесткости новой пружины. Обозначим его как \(k_{\text{новый}}\).

Шаг 4:
Для того, чтобы исключить неизвестную \(k_{\text{новый}}\), воспользуемся соотношением:

\[\frac{k_{\text{новый}}}{k_{\text{старый}}} = \frac{m}{m}\]

Шаг 5:
Получаем:

\[\frac{1}{10}T_{\text{старый}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{старый}}}}\times\sqrt{\frac{k_{\text{старый}}}{k_{\text{новый}}}}\]

Шаг 6:
Упростим выражение, избавившись от знаков квадратного корня:

\[\frac{1}{10}T_{\text{старый}} = 2\pi\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{k_{\text{старый}}}}\times\sqrt{k_{\text{старый}}}\times\frac{1}{\sqrt{k_{\text{новый}}}}\]

Шаг 7:
Упростим выражение, сократив корни:

\[\frac{1}{10}T_{\text{старый}} = 2\pi\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{k_{\text{старый}}}}\times\sqrt{k_{\text{старый}}}\times\frac{1}{\sqrt{k_{\text{новый}}}}\]

Шаг 8:
Получаем:

\[\frac{1}{10}T_{\text{старый}} = 2\pi\sqrt{m}\times\frac{1}{\sqrt{k_{\text{новый}}}}\]

Шаг 9:
Переносим коэффициент жесткости новой пружины в правую часть уравнения:

\[k_{\text{новый}} = \left(2\pi\sqrt{m}\times\frac{1}{\frac{1}{10}T_{\text{старый}}}\right)^2\]

Шаг 10:
Упрощаем выражение:

\[k_{\text{новый}} = \left(2\pi\sqrt{m}\times\frac{10}{T_{\text{старый}}}\right)^2\]

Шаг 11:
Получаем окончательный результат:

\[k_{\text{новый}} = \left(\frac{20\pi\sqrt{m}}{T_{\text{старый}}}\right)^2\]

Таким образом, чтобы груз той же массы колебался в вертикальной плоскости с частотой, которая в 10 раз выше, необходимо выбрать пружину с жесткостью \(k_{\text{новый}}\), вычисленной по формуле \(k_{\text{новый}} = \left(\frac{20\pi\sqrt{m}}{T_{\text{старый}}}\right)^2\).