Қандай тік бұрыштың периметрі 13 см-ге гипотенузасы 30 см2-ге тең?

Сладкая_Вишня

4

Согласно условию задачи, нам дано, что периметр \((P)\) определенного прямоугольного треугольника равен 13 см, а площадь \((S)\) гипотенузы равна 30 см².

Для начала, давайте найдем длину гипотенузы \((c)\). Известно, что площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
\]

где \(a\) и \(b\) - это длины катетов. В нашем случае, гипотенуза является основанием прямоугольника, а высота равна длине второго катета. Таким образом, мы можем записать:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h
\]

где \(c\) - длина гипотенузы, а \(h\) - высота треугольника.

Теперь, давайте найдем высоту треугольника через формулу площади прямоугольного треугольника:

\[
h = \frac{2S}{c}
\]

Подставим известные значения в формулу:

\[
h = \frac{2 \cdot 30}{c}
\]

Теперь, давайте найдем длины катетов. Мы знаем, что периметр равен сумме длин всех сторон треугольника:

\[
P = a + b + c
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
13 = a + b + c
\]

Заметим, что катеты \(a\) и \(b\) равны основанию прямоугольника и его высоте, соответственно:

\[
a = c \quad \text{и} \quad b = h.
\]

Теперь мы можем переписать уравнение периметра:

\[
13 = c + h + c
\]

Упростим его:

\[
13 = 2c + h
\]

Теперь, объединим уравнение периметра и уравнение для высоты:

\[
2c + h = 13 \quad \text{(1)}
\]
\[
h = \frac{2 \cdot 30}{c} \quad \text{(2)}
\]

Теперь, мы имеем систему уравнений с двумя неизвестными. Решим ее методом подстановки.

Используя уравнение (2), подставим выражение для \(h\) в уравнение (1):

\[
2c + \frac{2 \cdot 30}{c} = 13
\]

Умножим обе части уравнения на \(c\), чтобы избавиться от дроби:

\[
2c^2 + 60 = 13c
\]

Теперь, приведем уравнение к квадратному виду:

\[
2c^2 - 13c + 60 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или через формулу дискриминанта. Предположим, что оно факторизуется. Разложим коэффициент перед \(c^2\) на два множителя, а константу на два множителя так, чтобы получить:

\[
(2c - 5)(c - 12) = 0
\]

Теперь можно решить два возможных значения для \(c\):

\[
2c - 5 = 0 \quad \text{или} \quad c - 12 = 0.
\]

Решим первое уравнение:

\[
2c = 5 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{5}{2}.
\]

Решим второе уравнение:

\[
c = 12.
\]

Итак, мы получили два значения для \(c\): \(c = \frac{5}{2}\) или \(c = 12\).

Теперь, давайте рассмотрим первое значение \(c = \frac{5}{2}\). Подставляем его значение \(c\) в уравнение (2) и находим \(h\):

\[
h = \frac{2 \cdot 30}{\frac{5}{2}} = \frac{2 \cdot 30 \cdot 2}{5} = \frac{60}{5} = 12
\]

Теперь, найдем значения \(a\) и \(b\), которые равны \(c\):

\[
a = c = \frac{5}{2}, \quad b = h = 12
\]

Итак, первый набор значений для сторон прямоугольного треугольника: \(a = \frac{5}{2}\), \(b = 12\), \(c = \frac{5}{2}\).

Теперь, рассмотрим второе значение \(c = 12\). Подставляем его значение \(c\) в уравнение (2) и находим \(h\):

\[
h = \frac{2 \cdot 30}{12} = \frac{60}{12} = 5
\]

Теперь, найдем значения \(a\) и \(b\), которые равны \(c\):

\[
a = c = 12, \quad b = h = 5
\]

Итак, второй набор значений для сторон прямоугольного треугольника: \(a = 12\), \(b = 5\), \(c = 12\).

Таким образом, мы получили два возможных ответа на задачу:

1) Длины сторон прямоугольного треугольника равны \(a = \frac{5}{2}\) см, \(b = 12\) см и \(c = \frac{5}{2}\) см.

2) Длины сторон прямоугольного треугольника равны \(a = 12\) см, \(b = 5\) см и \(c = 12\) см.

Надеюсь, это понятно и помогает вам понять данную задачу.