Касательная ав проведена к окружности с центром о (а - точка касания). Величина ОВ равняется 10 см, а угол АВО равен

Los

38

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойство окружности, которое гласит, что касательная, проведенная к окружности, является перпендикулярной радиусу окружности, опущенному из точки касания.

Зная, что \( ОВ = 10 \) см и угол \( АВО = 30 \) градусов, мы можем разделить треугольник \( АВО \) на два прямоугольных треугольника \( АВС \) и \( ОВС \).

Посмотрите на рисунок ниже, где \( ОС \) - радиус окружности, \( АВ \) - касательная и \( АО \) - отрезок радиуса.

\[
\begin{array}{cccccc}
& & O & & & \\
& & | & & & \\
& & | & & & \\
& & | & & & \\
10 & & | & & & \\
& & | & & & \\
& & | & & & \\
& A & ——— & B & & \\
& & C & & &
\end{array}
\]

Мы можем заметить, что треугольник \( АВС \) является прямоугольным, так как угол \( АВО \) равен 30 градусам.

Теперь можно использовать треугольник \( ОВС \), чтобы найти значение радиуса окружности.

Мы знаем, что \( ОС \) - радиус окружности, \( ОВ \) - известная длина 10 см, а \( ОСВ \) - прямой угол (90 градусов). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка \( СВ \).

Согласно теореме Пифагора:

\[
ОВ^2 + ВС^2 = ОС^2
\]

Подставляя известные значения, получим:

\[
10^2 + ВС^2 = ОС^2
\]

\[
100 + ВС^2 = ОС^2
\]

Теперь мы можем использовать информацию о значении угла \( АВО \). Мы знаем, что тангенс угла \( АВО \) равен отношению противолежащего катета (\( ВС \)) к прилежащему катету (\( ОВ \)), то есть:

\[
\tan(30^\circ) = \frac{{ВС}}{{ОВ}}
\]

Подставляя известные значения и решая это уравнение относительно \( ВС \), получаем:

\[
\frac{{ВС}}{{10}} = \tan(30^\circ)
\]

\[
ВС = 10 \cdot \tan(30^\circ)
\]

\[
ВС \approx 5.7735 \, \text{см}
\]

Теперь мы можем подставить значение \( ВС \) в уравнение \( 100 + ВС^2 = ОС^2 \), чтобы найти значение радиуса \( ОС \).

\[
100 + (5.7735)^2 = ОС^2
\]

\[
100+ 33.333 \approx ОС^2
\]

\[
133.333 \approx ОС^2
\]

\[
ОС \approx \sqrt{133.333}
\]

\[
ОС \approx 11.547 \, \text{см}
\]

Таким образом, радиус окружности примерно равен 11.547 см.

Это детальное решение позволяет нам увидеть каждый шаг и логику, которую мы использовали для определения радиуса окружности.